Maxwelli võrrandid

Maxwelli võrranditeks nimetatakse lineaarsetest osatuletistega diferentsiaalvõrranditest koosnevat süsteemi, mis on koos Lorentzi seadusega klassikalise elektromagnetvälja teooria alus.

Maxwelli võrrandid kirjeldavad elektri- ja magnetvälja tekkimist ja nende omavahelist mõju. Võrrandid on nimetatud šoti füüsiku ja matemaatiku James Clerk Maxwelli järgi, kes kirjeldas neid nähtusi 1861. aastal ilmunud artiklis On Physical Lines of Force valemite kujul. 1884. aastal koondas inglise matemaatik ja füüsik Oliver Heaviside need praeguseks tuntud nelja võrrandi süsteemiks, kasutades tolleks ajaks juba väljaarendatud vektoranalüüsi tähistusviisi. Nende võrrandite põhjal ennustas Maxwell elektromagnetlainete olemasolu ja et need lained levivad niisama kiiresti kui valgus (paarikümne aasta pärast näitaski Heinrich Hertz niisuguste lainete olemasolu, mida me nüüd tunneme raadiolainetena). Maxwelli võrrandid on see teoreetiline baas, millele tuginevad paljud elektrotehnika rakendused, nagu näiteks elektrimasinad, trafod, raadioside vahendid jm.

Võrrandite füüsikaline sisu

Maxwell kirjeldab matemaatiliselt elektri- ja magnetisminähtuste nelja tähtsat omadust, mis tulenesid tolleks ajaks juba teada olevatest seadustest:

1. Elektrilaeng loob elektrivälja (Gaussi seadus elektrivälja jaoks);
2. Magnetlaenguid (magnetilisi monopooluseid) ei ole olemas (Gaussi seadus magnetvälja jaoks);
3. Muutuv magnetväli kutsub esile pööriselektrivälja (Faraday seadus);
4. Elektrivool ja muutuv elektriväli kutsuvad esile pöörismagnetvälja, millega kaasneb nihkevool (Ampère'i seadus koos Maxwelli yäiendusega ehk Ampère'i-Maxwelli seadus).

Olenevalt keskkonnast on kasutusel mikroskoopilised ja makroskoopilised võrrandid, mis esitatakse osatuletistega diferentsiaalvõrrandite süsteemina, makroskoopilised võrrandid ka integraalkujul.

Märkus. Vektoreid tähistatakse noolega kaldkirjas tähe peal (nagu käesolevas artiklis) või paksu püstkirja tähega [1].

Mikroskoopilised ja makroskoopilised võrrandid

Mikroskoopiliste võrranditega kirjeldatakse elektri- ja magnetväljade vahelisi seoseid vaakumis. Võrrandid seostavad elektrivälja tugevuse ${\vec {E}}$ ja magnetilise induktsiooni ${\vec {B}}$ laengu ruumtihedusega $\,\rho$ ja voolutihedusega ${\vec {J}}$. Looduskonstantide ε₀ ja μ₀ korrutis on seotud valguse kiirusega c: $\mu _{0}\varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}$.

Mikroskoopilised elektrilised dipoolid ja pöörisvoolud kutsuvad esile makroskoopilise polarisatsiooni ${\vec {P}}$ ja vastavalt magneetumuse ${\vec {M}}$

Väljade kirjeldamiseks materiaalses keskkonnas kasutatakse makroskoopilisi võrrandeid, mis sisaldavad lisaks kaht vektorsuurust:

• elektrivoo tihedus ehk elektriline nihe ${\vec {D}}={\varepsilon _{0}}{\vec {E}}+{\vec {P}}$, kus ${\vec {P}}$ on dielektriline polarisatsioon (dielektriku makroskoopiline dipoolmoment ruumalaühiku kohta, ühik C/m²);
• magnetvälja tugevus ${\vec {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}$, kus ${\vec {M}}$ on magneetumus (magneetiku makroskoopiline magnetmoment ruumalaühiku kohta, ühik A/m).

Maxwelli mikroskoopilised ja makroskoopilised diferentsiaalvõrrandid

Seadused	Mikroskoopilised võrrandid	Makroskoopilised võrrandid
Gaussi seadus elektrivälja jaoks	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho _{\text{f}}$
Gaussi seadus magnetvälja jaoks	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$
Faraday seadus (elektromagnetilise induktsiooni seadus)	${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$	${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
Ampère'i-Maxwelli seadus	${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$	${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}_{\text{f}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$

Maxwelli makroskoopilised võrrandid integraalkujul

Seadus	Valem	Ligikaudne sõnaline väljendus
Gaussi seadus elektrivälja jaoks	$\oint _{A}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=Q$	Elektrivoog läbi suletud pinna $A$ on võrdne vaba laenguga ruumiosas, mis on piiratud pinnaga $A$
Gaussi seadus magnetvälja jaoks	$\oint _{A}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=0$	Magnetvoog läbi suletud pinna $A$ on võrdne nulliga (magnetlaenguid pole olemas)
Faraday seadus	$\oint _{s}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=$ $-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{a}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$	Elektrivälja tsirkulatsioon piki pinda $A$ ümbritsevat kinnist joont (rajapikkusega $s$) on võrdne seda pinda läbiva magnetvoo negatiivse ajalise muutumisega
Ampère'i seadus	$\oint _{s}{\vec {H}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=$ $I+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{s}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$	Magnetvälja tsirkulatsioon piki pinda $A$ ümbritsevat kinnist joont (rajapikkusega $s$) on võrdne vabade laengute koguvoolu I ja seda pinda läbiva elektrivoo tiheduse D ajalise muutumisega

Nendes valemites:

• ${\vec {\nabla }}$ (nabla) on diferentsiaaloperaator, kusjuures
  • ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}\equiv \operatorname {div} {\vec {E}}$ − vektori ${\vec {E}}$ divergents;
  • ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\equiv \operatorname {rot} {\vec {E}}$ − vektori ${\vec {E}}$ rootor;
• ${\vec {E}}$ on elektrivälja tugevus;
• $\rho$ on laengu ruumtihedus;
• $\rho _{\text{f}}$ on vaba laengu ruumtihedus;
• $\varepsilon _{0}$ on elektriline konstant;
• ${\vec {J}}$ on voolutihedus;
• ${\vec {D}}$ on elektrivoo tihedus (elektriline nihe);
• ${\vec {B}}$ on magnetiline induktsioon (magnetvoo tihedus);
• $\mu _{0}$ on magnetiline konstant.;
• ${\vec {H}}$ on magnetvälja tugevus.

Vaata ka

• Lainevõrrand
• Magnetiline monopoolus
• Elektromagnetvälja tensor

Välislingid

• Maxwelli elektrodünaamika formuleerimine
• Maxwell's Equations