Elektromagnetvälja tensor

Elektromagnetvälja tensor on füüsikaline suurus, mis võimaldab elektromagnetvälja kovariantselt kirjeldada. Elektromagnetvälja tensor on neljamõõtmeline tensor, mida hakkas kasutama Hermann Minkowski enda loodud erirelatiivsusteooria formalismis. Elektromagnetvälja tensor võimaldab mõningaid füüsikaseadusi väga kompaktselt kirja panna.

Detailid

Matemaatiline märkus: selles artiklis kasutatakse abstraktset indeksinotatsiooni.

Elektromagnetvälja tensor $F^{\mu \nu }$ esitatakse tavaliselt maatriksina:

$F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$

või

$F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$

kus

E on elektriväli,

B on magnetväli ja

c on valguse kiirus.

Ülaltoodud märgid sõltuvad aegruumi meetrilise tensori valikust. Siin kasutatakse märgikokkulepet +---, millele vastab meetriline tensor

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$

Omadused

Väljatensori maatrikskujust ilmnevad järgmised omadused:

• antisümmeetria: $F^{\mu \nu }\,=-F^{\nu \mu }$ (millest ka nimi bivektor).
• elektrivälja tensoril on kuus sõltumatut komponenti.

Et tegemist on tensoriga, siis moodustub kontraktsioonidel Lorentzi invariant:

$F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)=\mathrm {invariant}$

Tensori $F^{\mu \nu }\,$ korrutis oma duaalse tensoriga annab pseudoskalaarse invariandi:

$\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }={\frac {4}{c}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)=\mathrm {invariant} \,$

kus $\ \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\,$ on neljandat järku täielikult antisümmeetiline pseudotensor ehk Levi-Civita sümbol.

Märkus: ülalasuva avaldise märk sõltub Levi-Civita sümboli jaoks kasutatavast märgikokkuleppest. Siin kasutatud kokkulepe on $\ \epsilon _{0123}\,$ = +1.

Elektromagnetvälja tensori determinant on

$\det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)^{2}$.

Elektromagnetvälja tensori saab kirja panna 4-vektorpotentsiaali $A^{\alpha }\,$ kaudu:

$F_{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial A_{\beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }$

Kus nelivektorpotentsiaal on moodustatud magnetvälja vektorpotentsiaalist ja elektrivälja (skalaarsest) potentsiaalist:

$A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)$

ja selle kovariantne kuju leitakse korrutamisel Minkowski meetrikaga $\eta \,$ :

$A_{\mu }\,=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\left(-{\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)$

Maxwelli võrrandid

 Pikemalt artiklis Maxwelli võrrandid

Maxwelli võrrandid võtavad elektromagnetilise tensori kaudu väljendudes võrdlemisi kompaktse kuju. Elektrivälja jaoks kehtib

$\partial _{\beta }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\alpha }\,$

kus

$J^{\alpha }=(c\,\rho ,{\vec {J}})\,$

on elektrilaengu 4-vool.

Võrrandid magnetismi jaoks taanduvad kujule

$F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }=0\,$

kus koma tähistab osatuletist

${\partial f \over \partial x^{\gamma }}\equiv \partial _{\gamma }f\equiv {f}_{,\gamma }$.

Vaata ka

• Elektromagnetism