Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering

Allikas: Vikipeedia

Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering on klassikalise elektromagnetismi esitamine kovariantsel kujul erirelatiivsusteooria formalismi abil.

Kovariantsest esitusest saab rääkida ka üldrelatiivsusteooria kontekstis.

Kovariantsed objektid[muuda | muuda lähteteksti]

Lisaks asukoha, kiiruse ja impulsi neli-vektorite on elektromagnetvälja ja laetud osakeste kirjeldamiseks tarvis veel järgmisi matemaatilisi objekte:

Elektromagentvälja tensor[muuda | muuda lähteteksti]

Elektromagnetvälja tensoris on magnetiline induktsioon ja elektrivälja tugevus ühendatud üheks antisümmeetriliseks tensoriks. SI-süsteemi ühikutes on selle kuju

F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
0 &  E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c  & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{matrix} \right)\, ,

kus

\boldsymbol{E}\, on elektrivälja tugevus,
\boldsymbol{B}\, on magnetiline induktsioon ja
c\, on valguse kiirus.

Voolu neli-vektor[muuda | muuda lähteteksti]

Voolu neli-vektor on kontravariantne neli-vektor, mis ühendab elektrivoolu tiheduse ja laengutiheduse ühtseks neli-vektoriks. Esitatuna amprites ruutmeetri kohta on see kujul

J^{\alpha}  = \,  (c \rho, \boldsymbol{J} ) \,

kus  \rho \, on laengutihedus,  \boldsymbol{J}\, on voolutihedus, ja c\, on valguse kiirus.

Potentsiaali neli-vektor[muuda | muuda lähteteksti]

Elektromagnetvälja neli-potentsiaal on elektrivälja skalaarsest potentsiaalist \phi\, ja magnetvälja vektorpotentsiaalist  \boldsymbol{A} \, moodustatud neli-vektor

A_{\alpha} = \left(\phi/c, - \boldsymbol{A} \right)\,.

Elektromagnetvälji avaldub 4-potentsiaali kaudu järgmiselt:

F_{\alpha \beta} = \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha} \,

kus

\partial_\alpha = \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} = \left( \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \boldsymbol{\nabla} \right) \,.

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor[muuda | muuda lähteteksti]

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor on sümmeetriline kontravariantne tensor

T^{\alpha\beta} = \begin{bmatrix} \frac{\epsilon_{0}}{2}\left(E^2 + c^2 B^2\right) & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\ S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\
S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\
S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{bmatrix}\, ,

mis ühendab endasse Poyntingi vektori

\boldsymbol{\rm S} = \frac{1}{\mu_{0}} \boldsymbol{\rm E} \times \boldsymbol{\rm B} \, ,

elektromagnetvälja energiatiheduse

\frac{\epsilon_{0}}{2}\left(E^2 + c^2 B^2\right) \, ,

ja Maxwelli pingetensori komponentidega

\sigma_{ij} = \epsilon_{0}E_{i}E_{j} + \frac{1}{\mu_{0}}B_{i}B_{j} - \frac{\epsilon_{0}}{2}\left(E^2 + c^2 B^2\right)\delta_{ij} \, ,

kus \epsilon_0\, on elektriline konstant, \mu_0\, on magnetiline konstant ja \eta \, on Minkowski meetrika. Ülal on kasutatud seost

c^2 = \frac{1}{\epsilon_{0} \mu_{0}}\,.

Maxwelli võrrandid[muuda | muuda lähteteksti]

Kovariantses formuleeringus on Maxwelli võrrandite kuju võrdlemisi kompaktne:

\frac{\partial F^{\alpha\beta }}{\partial x^\alpha} = \mu_{0} J^\beta
\qquad\hbox{ja}\qquad
0 = \epsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} \frac{\partial F_{\alpha \beta}}{\partial x^\gamma},

kus F^{\alpha\beta}\, on elektromagnetvälja tensor, J^{\alpha}\, on neli-vool, \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\, on Levi-Civita sümbol ja üle korduvate indeksite summeeritakse Einsteini summeerimiskokkuleppe järgi.

Lorentzi jõud[muuda | muuda lähteteksti]

Punktlaengu liikumisvõrrandite kovariantne kuju on

 \frac{d p_{\alpha}}{d \tau} \, = q \, F_{\alpha \beta} \, u^\beta

kus p_{\alpha}\, on punktosakese neli-impulss, q\, on selle elektrilaeng, u^{\beta}\, on neli-kiirus ja \tau\, on osakese omaaeg. See võrrand on Newtoni II seaduse analoog relativistlikul juhul, kusjuures võrduse vasak pool on Lorentzi jõu kovariantne avaldis.

Pidevuse võrrand[muuda | muuda lähteteksti]

Laengu jäävusele vastava pidevuse võrrandi kovariantne kuju on

{J^{\alpha}}_{,\alpha} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \,  \partial_{\alpha} J^{\alpha} \, = \, 0 \,.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]