Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering

Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering on klassikalise elektromagnetismi esitamine kovariantsel kujul erirelatiivsusteooria formalismi abil.

Kovariantsest esitusest saab rääkida ka üldrelatiivsusteooria kontekstis.

Kovariantsed objektid[muuda | muuda lähteteksti]

Lisaks asukoha, kiiruse ja impulsi neli-vektorite on elektromagnetvälja ja laetud osakeste kirjeldamiseks tarvis veel järgmisi matemaatilisi objekte:

F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)\,,

kus

{\boldsymbol {E}}\,

{\boldsymbol {B}}\,

c\,

Voolu neli-vektor on kontravariantne neli-vektor, mis ühendab elektrivoolu tiheduse ja laengutiheduse ühtseks neli-vektoriks. Esitatuna amprites ruutmeetri kohta on see kujul

J^{\alpha }=\,(c\rho ,{\boldsymbol {J}})\,

kus $\rho \,$ on laengutihedus, ${\boldsymbol {J}}\,$ on voolutihedus, ja $c\,$ on valguse kiirus.

Elektromagnetvälja neli-potentsiaal on elektrivälja skalaarsest potentsiaalist $\phi \,$ ja magnetvälja vektorpotentsiaalist ${\boldsymbol {A}}\,$ moodustatud neli-vektor

A_{\alpha }=\left(\phi /c,-{\boldsymbol {A}}\right)\,

.

Elektromagnetvälji avaldub 4-potentsiaali kaudu järgmiselt:

F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,

kus

\partial _{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\boldsymbol {\nabla }}\right)\,.

T^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\,,

mis ühendab endasse Poyntingi vektori

{\boldsymbol {\rm {S}}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {\rm {E}}}\times {\boldsymbol {\rm {B}}}\,,

elektromagnetvälja energiatiheduse

{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)\,,

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)\delta _{ij}\,,

kus $\epsilon _{0}\,$ on elektriline konstant, $\mu _{0}\,$ on magnetiline konstant ja $\eta \,$ on Minkowski meetrika. Ülal on kasutatud seost

c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,.

Kovariantses formuleeringus on Maxwelli võrrandite kuju võrdlemisi kompaktne:

{\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}=\mu _{0}J^{\beta }\qquad {\hbox{ja}}\qquad 0=\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }{\frac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}

,

kus $F^{\alpha \beta }\,$ on elektromagnetvälja tensor, $J^{\alpha }\,$ on neli-vool, $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,$ on Levi-Civita sümbol ja üle korduvate indeksite summeeritakse Einsteini summeerimiskokkuleppe järgi.

{\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta }

kus $p_{\alpha }\,$ on punktosakese neli-impulss, $q\,$ on selle elektrilaeng, $u^{\beta }\,$ on neli-kiirus ja $\tau \,$ on osakese omaaeg. See võrrand on Newtoni II seaduse analoog relativistlikul juhul, kusjuures võrduse vasak pool on Lorentzi jõu kovariantne avaldis.

{J^{\alpha }}_{,\alpha }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\partial _{\alpha }J^{\alpha }\,=\,0\,.