Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering

Allikas: Vikipeedia

Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering on klassikalise elektromagnetismi esitamine kovariantsel kujul erirelatiivsusteooria formalismi abil.

Kovariantsest esitusest saab rääkida ka üldrelatiivsusteooria kontekstis.

Kovariantsed objektid[muuda | muuda lähteteksti]

Lisaks asukoha, kiiruse ja impulsi neli-vektorite on elektromagnetvälja ja laetud osakeste kirjeldamiseks tarvis veel järgmisi matemaatilisi objekte:

Elektromagentvälja tensor[muuda | muuda lähteteksti]

Elektromagnetvälja tensoris on magnetiline induktsioon ja elektrivälja tugevus ühendatud üheks antisümmeetriliseks tensoriks. SI-süsteemi ühikutes on selle kuju

kus

on elektrivälja tugevus,
on magnetiline induktsioon ja
on valguse kiirus.

Voolu neli-vektor[muuda | muuda lähteteksti]

Voolu neli-vektor on kontravariantne neli-vektor, mis ühendab elektrivoolu tiheduse ja laengutiheduse ühtseks neli-vektoriks. Esitatuna amprites ruutmeetri kohta on see kujul

kus on laengutihedus, on voolutihedus, ja on valguse kiirus.

Potentsiaali neli-vektor[muuda | muuda lähteteksti]

Elektromagnetvälja neli-potentsiaal on elektrivälja skalaarsest potentsiaalist ja magnetvälja vektorpotentsiaalist moodustatud neli-vektor

.

Elektromagnetvälji avaldub 4-potentsiaali kaudu järgmiselt:

kus

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor[muuda | muuda lähteteksti]

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor on sümmeetriline kontravariantne tensor

mis ühendab endasse Poyntingi vektori

elektromagnetvälja energiatiheduse

ja Maxwelli pingetensori komponentidega

kus on elektriline konstant, on magnetiline konstant ja on Minkowski meetrika. Ülal on kasutatud seost

Maxwelli võrrandid[muuda | muuda lähteteksti]

Kovariantses formuleeringus on Maxwelli võrrandite kuju võrdlemisi kompaktne:

,

kus on elektromagnetvälja tensor, on neli-vool, on Levi-Civita sümbol ja üle korduvate indeksite summeeritakse Einsteini summeerimiskokkuleppe järgi.

Lorentzi jõud[muuda | muuda lähteteksti]

Punktlaengu liikumisvõrrandite kovariantne kuju on

kus on punktosakese neli-impulss, on selle elektrilaeng, on neli-kiirus ja on osakese omaaeg. See võrrand on Newtoni II seaduse analoog relativistlikul juhul, kusjuures võrduse vasak pool on Lorentzi jõu kovariantne avaldis.

Pidevuse võrrand[muuda | muuda lähteteksti]

Laengu jäävusele vastava pidevuse võrrandi kovariantne kuju on

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]