Osatuletis

Allikas: Vikipeedia

Osatuletiseks nimetatakse matemaatilises analüüsis sellist funktsiooni tuletist, mille arvutamisel mingi muutuja x järgi punktis P_0 loetakse teised muutujad konstantseks.

Osatuletis on üks matemaatilise analüüsi kõige olulisemaid mõisteid ning seda kasutatakse gradiendi, mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali, rootori, divergentsi ja paljude teiste matemaatiliste mõistete defineerimisel. Seetõttu leiab osatuletis olulist kasutust näiteks rakendusmatemaatikas ja füüsikas.

Definitsioon ja tähistus[1][muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu antud mitme muutuja funktsioon

u=f(x,\, y,\, z,\, ...),   \qquad             (x,y,z,...)\in\mathbb{D}

ja olgu punkt P_0=(x_0,\, y_0,\, z_0,\, ...) piirkonna  D sisepunkt. Fikseerime muutujad y,\, z,\, ...\ , võttes y=y_0,\,  z=z_0,\, ...\ , siis saame ühe muutuja funktsiooni

g(x)=f(x,\,  y_0,\,  z_0,\,  ...)\ .

Kui funktsioonil  g(x) on punktis  x_0 olemas tuletis  g'(x_0) , siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni  f osatuletiseks muutuja  x järgi punktis  P_0 ja tähistatakse sümbolitega

 f_x(P_0)=f_x(x_0,\, y_0,\, ...)={\partial f(P_0) \over \partial x}={\partial \over \partial x} f(P_0)\,.

Funktsiooni f osatuletis muutuja x järgi suvalises punktis P=(x,\, y,\, ...) on seega piirväärtus (funktsioon)

f_x(P)=\lim_{\Delta x \to 0}	\frac{f(x+\Delta x,\,y,\,z\,...)-f(x,\,y,\,z\,...)}{\Delta x} \,.

Analoogiliselt defineeritakse funktsiooni f osatuletised muutujate y,\, z,\, ...\, järgi punktis P_0, s.o. osatuletised f_y(P_0),\, f_z(P_0),\, ...\qquad  .

Funktsiooni osatuletisi arvutatakse samade reeglite järgi, millega arvutatakse ühe muutuja funktsiooni tuletisi.

Geomeetriline tähendus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Nii nagu analüütilises käsitluseski, on osatuletiste geomeetrilisel tõlgendusel palju sarnast tavaliste tuletistega. Näiteks kahe muutuja funktsioonid defineerivad kolmemõõtmelises ruumis sageli mingi pinna. See pind koosneb lõpmatust hulgast punktidest ning igas punktis on pinnal lõpmatu arv puutujaid. Osatuletise operaatori rakendamine mingis punktis tähendab sisuliselt ühe sellise puutuja tõusu leidmist.


Näide[muuda | redigeeri lähteteksti]

Vaatleme kahe muutuja funktsiooni

z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2\;.

Antud funktsioon defineerib kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis paraboloidi.

Funktsiooni f(x, y) = x^2 + xy + y^2 graafik ning tasand, mis tekib, kui loeme y-koordinaadi konstantseks.
Funktsiooni graafiku xz-tasandiga paralleelne puutuja punktis P_0=(1, 1, 3) .


Et leida funktsiooni f(x, y) = x^2 + xy + y^2\, xz-tasapinnaga paralleelse puutuja tõus punktis P_0=(1, 1, 3) , tuleb leida selle funktsiooni osatuletis, lugedes muutuja y konstantseks (y=1). Funktsiooni osatuletis muutuja x järgi on \frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y\,. Seega tasandil y=1 on funktsiooni f(x, y) = x^2 + xy + y^2\, tõus punktis P_0=(1, 1, 3)\qquad\frac{\part z}{\part x} = 3\,.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. E.Reimers, Matemaatilise analüüsi praktikum I, 1988