Kepleri seadused

Kepleri kolme seaduse illustratsioon. (1) Orbiidid on ellipsid, kus esimese planeedi fookusteks on ƒ₁ ja ƒ₂ ning teise planeedi fookusteks ƒ₁ ja ƒ₃. Päike asub fookuses ƒ₁. (2) Kaks tumedamat sektorit A₁ ja A₂ on võrdsete pindaladega. Aeg, mis kulub planeedil 1, et katta sektorit A₁, on võrdne ajaga, mis kulub, et katta sektor A₂. (3) Orbitaalperioodide suhe planeedi 1 ja planeedi 2 jaoks on a₁^3/2 : a₂^3/2.

Kepleri seadused kirjeldavad planeetide liikumist ümber Päikese. Kolm Kepleri seadust on järgmised:

1. Iga planeedi orbiit on ellips, mille ühes fookuses on Päike.
2. Planeedi raadiusvektor katab võrdsete ajavahemike jooksul võrdsed pindalad.
3. Planeetide tiirlemisperioodide ruudud suhtuvad nagu nende orbiitide pikemate pooltelgede kuubid.

Seaduste tuletamisel ei arvestata planeetidevahelise interaktsiooniga ja eeldatakse, et piirjuhul ${\frac {m_{planeet}}{m_{P{\ddot {a}}ike}}}$ → 0. Kepleri seadused moodustavad hea mudeli, millega arvutada nende planeetide orbiite, mis ei erine liialt nendest piirangutest.

Ajalugu

Johannes Kepler avastas kaks esimest seadust, analüüsides Tycho Brahe astronoomilisi vaatlusi. Oma töö avaldas ta 1609. aastal. Kolmanda seaduse avastas Kepler aastaid hiljem ja avaldas 1619. aastal. 17. sajandi algul olid Kepleri seadused radikaalsed: valdavalt usuti, et taevakehade orbiidid on ideaalsed ringid. Orbiitide elliptilisus ei olnud vaatlusel tihti arusaadav ja seega on lihtne pidada neid ringikujulisteks. Esmalt arvutas Kepler planeedi Marss orbiiti, mis vihjas elliptilisele kujule. Sellest järeldas ta, et ka teistel taevakehadel, sealhulgas ka neil, mis asuvad Päikesest kaugemal, peavad olema elliptilised orbiidid. Kepleri seadused esitasid tõsise väljakutse senisele üldtunnustatud geotsentrilisele Aristotelese ja Ptolemaiose maailmasüsteemile ning toetasid üldjoontes Mikołaj Koperniku heliotsentrilist teooriat, ehkki Koperinku teoorias olid planeetide orbiidid ikkagi ringikujulised.

Peaaegu sajand hiljem tõestas Isaac Newton, et Kepleri seadused kehtivad kindlatel ideaalsetel tingimustel, mis piisavalt hea lähendusega esinevad Päikesesüsteemis, ning tulenevad Newtoni kolmest seadusest ja gravitatsiooniseadusest. Kuna planeetidel on mass ja massist tulenev liikumise perturbatsioon, kehtivad Kepleri seadused ainult ligikaudselt ja ei kirjelda täpselt Päikesesüsteemi sisemist liikumist. Voltaire'i 1738. aastal avaldatud "Eléments de la philosophie de Newton" oli esimene teos, kus nimetati Kepleri seadusi seadusteks. Koos Newtoni matemaatiliste teooriatega moodustavad Kepleri seadused osa tänapäeva astronoomiast ja füüsikast.

Esimene seadus

Kepleri esimest seadust kujutav joonis, kus Päike (M) asub ellipsi, mis on planeedi (m) orbiidiks, ühes fookuses

Iga planeedi orbiit on ellips, mille ühes fookuses on Päike.

Ellips on matemaatiline kujund, mis meenutab kujult välja venitatud ringjoont. Päike ei asu ellipsi keskpunktis, vaid ühes fookustest. Ringjoon on ellipsi erijuht, kui mõlemad fookused asuvad ühessamas punktis, mis langeb kokku ellipsi keskpunktiga. Ellipsi kuju kirjeldatakse parameetriga, mida kutsutakse ekstsentrilisuseks. Ekstsentrilisus on parameeter, mis võib muutuda nullist (tavaline ringjoon) üheni (ellips, mis on fookuste kauguse tõttu nii välja venitatud, et moodustab parabooli). Päikesesüsteemi planeetide orbiitide ekstsentrilisus on väikseim Veenusel (0,007). Ometi ei erine isegi Merkuuri orbiit kuigi palju ringjoonest. Samas on avastatud taevakehi, mille ekstsentrilisus on väga suur. Nende seas on palju komeete ja asteroide. On vaadeldud ka taevakehasid, mille orbiit on paraboolne või hüperboolne.

Ellipsi võrrandi kuju polaarkoordinaatides on

$r={\frac {p}{1+\varepsilon \,\cos \theta }},$

kus r ja θ on ellipsi polaarkoordinaadid, p on fokaalparameeter ja ε on orbiidi ekstsentrilisus. Kui vaatame ellipsit planeedi orbiidina kujutab r planeedi kaugust Päikesest ja θ on nurk planeedi hetkeasukoha ja Päikesele lähima asukoha vahel.

Olukorda, kus θ = 0° nimetatakse periheeliks, siis on planeedi kaugus Päikesest minimaalne.

$r_{\mathrm {min} }={\frac {p}{1+\varepsilon }}.$

Kui θ = 90° või θ = 270°, siis kaugus on p.

Kui θ = 180°, afeel, on kaugus maksimaalne.

$r_{\mathrm {max} }={\frac {p}{1-\varepsilon }}.$

Pikem pooltelg a on aritmeetiline keskmine r_min ja r_max vahel:

$\,r_{\max }-a=a-r_{\min },$

seega

$a={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}.$

Lühem pooltelg b on geomeetriline keskmine r_min ja r_max vahel:

${\frac {r_{\max }}{b}}={\frac {b}{r_{\min }}},$

seega

$b={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}.$

Fokaalparameeter p on harmooniline keskmine r_min ja r_max vahel:

${\frac {1}{r_{\min }}}-{\frac {1}{p}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r_{\max }}}.$

Ekstsentrilisus ε on variatsioonikoefitsient r_min ja r_max vahel:

$\varepsilon ={\frac {r_{\mathrm {max} }-r_{\mathrm {min} }}{r_{\mathrm {max} }+r_{\mathrm {min} }}}.$

Ellipsi pindala on

$S=\pi ab\,.$

Erijuhul, kui on tegemist ringiga, on ε = 0, mis annab r = p = r_min = r_max = a = b ja S = π r².

Esimese seaduse tuletamine

Esimese seaduse tuletamiseks peab esmalt defineerima

$\ u=pr^{-1}\,,$

kus konstant

$p=\ell ^{2}G^{-1}M^{-1}\,$

on pikkuse dimensiooniga. Seega

$GMr^{-2}=\ell ^{2}p^{-3}u^{2}$

ja

$\ {\dot {\theta }}=\ell r^{-2}=\ell p^{-2}u^{2}.$

On üle mindud diferentseerimiselt aja järgi diferentseerimisele nurga järgi:

$\ {\dot {X}}={\frac {dX}{dt}}={\frac {dX}{d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {dX}{d\theta }}\cdot {\dot {\theta }}={\frac {dX}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}.$

Diferentseerides

$\ r=pu^{-1}$

kaks korda, on tulemuseks

${\dot {r}}={\frac {d(pu^{-1})}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-pu^{-2}{\frac {du}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-\ell p^{-1}{\frac {du}{d\theta }}$

${\ddot {r}}={\frac {d{\dot {r}}}{d\theta }}\cdot \ell p^{-2}u^{2}={\frac {d}{d\theta }}\left(-\ell p^{-1}{\frac {du}{d\theta }}\right)\cdot \ell p^{-2}u^{2}=-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.$

Asendades radiaalsesse liikumisvõrrandisse

${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-GMr^{-2}$

saab

$-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}-(pu^{-1})(\ell p^{-2}u^{2})^{2}=-\ell ^{2}p^{-3}u^{2}.$

Jagades parema poolega saab lihtsa mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi:

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=1.$

Ilmne lahend sellele võrrandile on ringikujuline orbiit

$\ u=1.$

Ülejäänud lahendeid saab, kui otsida lahendit konstantsete kordajatega homogeensele lineaarsele diferentsiaalvõrrandile

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=0.$

Vastavad lahendid on

$\varepsilon \cdot \cos(\theta -\theta _{0})$

kus ε ja $\scriptstyle \theta _{0}\,$ on suvalised integreerimiskonstandid. Seega tulemuseks on

$\ u=1+\varepsilon \cdot \cos(\theta -\theta _{0}).$

Valides koordinaatsüsteemi telje nii, et $\scriptstyle \,\theta _{0}=0$, ja lisades $\scriptstyle u=pr^{-1}$ saab

$\ pr^{-1}=1+\varepsilon \cdot \cos \theta ,$

$\ r={\frac {p}{1+\varepsilon \cdot \cos \theta }}.$

Kui $\scriptstyle |{\varepsilon }|<1,$ on see ellipsi võrrand ja illustreerib Kepleri esimest seadust.

Teine seadus

Planeedi raadiusvektor katab võrdsetes ajavahemikes võrdsed pindalad.

Mõistmaks Kepleri teist seadust eeldame, et planeedil kulub üks päev liikumaks punktist A punkti B. Jooned Päikeselt punktidesse A ja B koos planeedi orbiidiga määravad piisavalt heas lähenduses kolmnurkse ala. Olenemata, kus kohas planeet oma orbiidil paikneb, katab tiirleva planeedi liikumisele vastav raadiusvektor iga päev sama suure pindala. Nagu väidab Kepleri esimene seadus peab planeet liikuma mööda elliptilist orbiiti paiknedes seega eri aegadel Päikesest eri kaugustel. Seega peab planeet liikuma kiiremini paiknedes Päikesele lähemal ja aeglasemalt olles Päikesest kaugemal, et katta sama suur ala.

Kepleri teine seadus vastab faktile, et jõukomponent, mis on risti raadiusvektoriga, on null. Kiirus, millega liigub segment, on vastavuses impulsimomendiga ja seega esitab Kepleri teine seadus impulsimomendi jäävust. Kirjutades valemina:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0,$

kus ${\tfrac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}$ on kiirus, millega pind liigub.

Tuntud ka võrdsete pindade reeglina, mis kehtib ka hüperboolsetele- ja paraboolsetele trajektooridele.

Teise seaduse tuletamine

Tuletamaks Kepleri teist seadust on vaja tangentsiaalkiirenduse võrrandit.

Suurus

$\ell =r^{2}{\dot {\theta }}\,$

on liikumisintegraal, isegi kui nii kaugus r, nurkkiirus ${\dot {\theta }}$ kui ka tangentsiaalkiirus $r{\dot {\theta }}$ muutuvad, sest

${\frac {d\ell }{dt}}={\frac {d(r^{2}{\dot {\theta }})}{dt}}=r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}=r(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }})=0$

kus avaldis :$r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}$ kaob vastavalt tangentsiaalkiirenduse võrrandile. Integreerides pinda ajast t₁ kuni ajani t₂ saab võrrandi

$\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{2}}\cdot r\cdot r{\dot {\theta }}\,dt={\frac {1}{2}}\cdot \ell \cdot (t_{2}-t_{1})$

mis sõltub ainult ajaperioodi pikkusest, ehk t₂ − t₁. See ongi Kepleri teine seadus.

Kolmas seadus

Planeetide tiirlemisperioodide ruudud suhtuvad nagu nende orbiitide pikemate pooltelgede kuubid.

Kolmas seadus kirjeldab suhet planeedi kauguse Päikesest ja taevakeha tiirlemisperioodi vahel. Olgu näiteks planeet A neli korda Päikesest kaugemal kui planeet B. Seega peab planeet A läbima iga tiiruga neli korda pikema vahemaa kui planeet B. Planeet A liigub kaks korda aeglasemalt kui planeet B, et säiliks tasakaal vähenenud tsentripetaaljõuga, mis tuleneb gravitatsioonilisest tõmbest. Kokku kulub planeedil A 4×2=8 korda kauem aega, et teha üks täistiir ümber Päikese kui planeedil B. See on vastavuses Kepleri kolmanda seadusega (8²=4³).

Kolmandat seadust tunti ka harmoonilise seadusena, kuna Kepler kasutas seda katses määrata "kerade muusika" täpseid reegleid ja esitada neid muusikalises kirjaviisis.

Praegusel ajal kasutatakse kolmandat seadust, et kindlaks teha eksoplaneedi kaugus tähest, mille ümber see tiirleb. Kauguse määramine aitab kindlaks teha, kas planeet sobib eluks.

Valemites väljendades:

$T^{2}\propto a^{3}\,,$

kus T on planeedi tiirlemisperiood ja a on orbiidi pikem pooltelg.

Võrdelisuse konstant on sama iga Päikese ümber tiirleva planeedi jaoks.

${\frac {T_{\rm {planeet}}^{2}}{a_{\rm {planeet}}^{3}}}={\frac {T_{\rm {Maa}}^{2}}{a_{\rm {Maa}}^{3}}}.$

Konstandi väärtuseks tuleb 1(täheaasta)²(astronoomiline ühik)⁻³. Arvutades tulemuse välja saab 2.97472505×10–19 s²m⁻³.

Kolmanda seaduse tuletamine

Erijuhul, kui tegu on ringikujuliste orbiitidega, mis on ellipsid ekstsentrilisusega null, on suhet orbiidi raadiuse a ja perioodi T vahel üpriski lihtne tuletada. Ringliikumise tsentripetaaljõud on võrdeline a/T², mis omakorda on võrdeline 1/a². Seega

$P^{2}\propto a^{3}$

Üldiselt on tegemist aga elliptiliste orbiitidega ja seega on ka tuletuskäik keerukam.

Elliptilise planeedi orbiidi pindala on

$S=\pi ab=\pi a(a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})=\pi a^{2}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,.$

Kiirus, millega raadiusvektor katab orbiidi pinda on

${\dot {S}}=\ell /2\,,$

kus

$\ell ^{2}=pGM=a(1-\varepsilon ^{2})GM\,.$

Orbiidi periood on

$T={\frac {S}{\dot {S}}}={\frac {\pi a^{2}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{\ell /2}}=2\pi {\frac {a^{2}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{\ell }}\,,$

millest tuleneb

$\left({\frac {P}{2\pi }}\right)^{2}=\left({\frac {a^{2}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{\ell }}\right)^{2}={\frac {a^{4}(1-\varepsilon ^{2})}{\ell ^{2}}}={\frac {a^{4}(1-\varepsilon ^{2})}{a(1-\varepsilon ^{2})GM}}={\frac {a^{3}}{GM}}\,,$

mis omakorda näitab Kepleri kolmandat seadust

$P^{2}\propto a^{3}.\,$

Üldistus

Kepleri seadused kirjeldavad ligikaudselt kahe keha liikumist orbiidil üksteise ümber. Kahe keha massid võivad olla peaaegu võrdsed, näiteks Charon ja Pluuto (erinevus ~1:10), väikese erinevusega, näiteks Kuu ja Maa (~1:100), või suure erinevusega, näiteks Merkuur ja Päike (~1:10 000 000).

Kahe keha liikumise korral sõltub tiirlemine süsteemi barütsentrist (punkt, mille ümber kehade süsteem tiirleb), kuna kummagi keha massikese ei asu täpselt ühes ellipsi fookuses. See-eest on mõlemad orbiidid ellipsid, mille üks fookus asub barütsentris. Juhul, kui masside suhe on suur, võib barütsenter olla suurema keha sees massikeskme lähedal. Sellisel juhul on tarvis keerukat täppismõõtmist, et eristada barütsentrit suure keha massikeskmest. Taevakehadest, mis tiirlevad ümber Päikese, on suurima massiga Jupiter (masside suhe 1/1047,3486) ja Saturn (1/3497,898), seega on juba pikka aega teatud, et Päikesesüsteemi massikese võib kohati paikneda väljaspool Päikest., mõnikord kuni Päikese diameetri kaugusel Päikese keskmest. Seega Kepleri esimene seadus, ehkki ligikaudselt piisavalt täpne, ei kirjelda klassikalise füüsika abil planeetide tiirlemist ümber Päikese.

Nullekstsentrilisus

Kui planeedi orbiidi ekstsentrilisus oleks null, siis Kepleri seaduste järgi:

1. planeedi orbiit oleks ringjoon;
2. Päike paikneks orbiidi keskkohas;
3. planeedi liikumise kiirus orbiidil oleks konstantne;
4. täheperiood ruudus on võrdeline kaugusega Päikesest kuubis.

Kuue planeedi, mis olid Kopernikule ja Keplerile teada, ekstsentrilisused on üpriski väikesed, mis võimaldab hea täpsusega hinnata planeetide liikumist lähtudes neist punktidest.

Kuna ühtlast ringliikumist peeti normaalseks, siis kõrvalekaldeid taolisest liikumisest peeti anomaaliateks. Kepler täiendas Koperniku mudelit, saades uuteks reegliteks:

1. planeedi orbiit ei ole ringjoon, vaid ellips;
2. Päike ei asu orbiidi keskkohas vaid fookuspunktis;
3. nii planeedi joonkiirus kui ka nurkkiirus muutuvad;
4. täheperiood ruudus on võrdeline miinimumkauguse ja maksimumkauguse aritmeetilise keskmisega kuubis.

Vaata ka

• Johannes Kepler
• Gravitatsioon
• Ringliikumine

Kirjandus

• Kepleri elulugu on võetud kokku lehekülgedel 523–627, samuti viiendas raamatus tema magnum opuses, Harmonice Mundi (harmonies of the world), uuesti trükitud lehekülgedel 635–732 raamatus On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy (works by Copernicus, Kepler, Galileo Galilei, Newton, and Einstein). Stephen Hawking, 2002 ISBN 0-7624-1348-4
• J. L. Meriam "Dynamics" leheküljed 161–164, ilmunud 1966 ja 1971, toimetaja John Wiley, New york, ISBN 0-471-59601-9
• Murray and Dermott, Solar System Dynamics, Cambridge University Press 1999, ISBN 0-521-57597-4
• V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Chapter 2. Springer 1989, ISBN 0-387-96890-3

Välislingid

• B.Surendranath Reddy; Kepleri seaduste animatsioon: applet.
• Crowell, Benjamin, Conservation Laws, http://www.lightandmatter.com/area1book2.html.
• David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler's Second Law – Java Interactive Tutorial, http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html.
• Audio – Cain/Gay (2010) Astronomy Cast Johannes Kepler and His Laws of Planetary Motion.
• University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion [1].
• Equant compared to Kepler: interactive model [2].
• Kepler's Third Law:interactive model [3].
• Solar System Simulator (Interactive Applet).
• Kepler and His Laws.
• http://www.youtube.com/watch?v=82p-DYgGFjI (ingliskeelne video)