Ellips

Allikas: Vikipeedia
Disambig gray.svg  See artikkel räägib matemaatika mõistest; lausekujundi kohta vaata artiklit Ellips (lausekujund).

Ellipse PLS.svg
Saturni rõngad paistavad ellipsikujulistena.
Ellipsograaf ehk ellipsisirkel.

Ellipsiks nimetatakse tasandile kuuluvate punktide hulka, mille puhul iga punkti kauguste summa kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on jääv suurus, mis võrdub ellipsi läbimõõduga ehk pikema telje pikkusega.

Ellips on ovaalide hulka kuuluv kinnine kõverjoon. See on üks koonuselõikeid.

Ellipsi võrrand ristkoordinaadistikus on

A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,.

Ellipsi mõiste ja sõna ἔλλειψις (élleipsis 'puudujääk') võttis kasutusele Apollonios Pergest. Nimetus on seotud ekstsentrilisusega \varepsilon < 1.[1]

Looduses esinevad ellipsid häiritusteta Kepleri orbiitidena (ümber Päikese tiirlevate planeetide orbiitidena. Ka aksonomeetrias läheb ellipseid sageli tarvis, sest ringjoon kujutub paralleelprojektsiooni korral üldjuhul ellipsiks.

Definitsioonid ja mõisted[muuda | muuda lähteteksti]

Joonisel on näidatud järgnevas tekstis kasutatavad tähistused.

Ellipsit saab defineerida mitut moodi. Peale definitsiooni punktide kauguse kaudu saab ellipsit defineerida ka ringjoone aksonomeetrilise kujutisena või lõikejoonena vastava kaldega tasandi ning kaksikkoonuse vahel.

Ellips kui punktihulk[muuda | muuda lähteteksti]

Ellipsi saab defineerida tasandi kõikide niisuguste punktide P hulgana, mille kauguste summa kahest etteantud punktist F_1 ja F_2 võrdub etteantud konstandiga. Punkte F_1 ja F_2 nimetatakse fookusteks.

E = \left\{P \mid \overline{F_1 P} + \overline{F_2 P} = \text{konstant}\right\}.

See konstant peab olema suurem kui \overline{F_1 F_2}.

Kui fookused langevad kokku, siis E on ringjoon. See juhtum jäetakse sageli vaikimisi välja, sest enamik ütlusi ellipsite kohta on ringjoone juhtumil triviaalsed.

Haripunktid ja teljed[muuda | muuda lähteteksti]

Mõlemat fookust läbivat telge nimetatakse peateljeks ning keskpunkt M jagab selle kaheks pikemaks poolteljeks \overline{MS_1} ja \overline{MS_2}. Punkte S_1 und S_2 nimetatakse peaharipunktideks. Kummagi pikema pooltelje pikkust tähistatakse a:

a = \overline{M S_1} = \overline{M S_2}.

Analoogselt räägitakse kõrvalharipunktidest S_3 ja S_4 ning kõrvalteljest, mis koosneb lühematest pooltelgedest \overline{MS_3} ja \overline{MS_4}. Lühemate pooltelgede pikkust tähistatakse b:

b = \overline{M S_3} = \overline{M S_4}.

Pea- ja kõrvaltelg on omavahel risti ja lõikuvad punktis M.

Spetsiaalsed kaugused[muuda | muuda lähteteksti]

Ellipsi definitsioon punktihulgana: lõik ühest fookusest ellipsi ääreni ja lõik edasi teise fookuseni annavad kokku alati sama pikkuse.

Definitioonivõrrandist koos sümmeetriakaalutlustega tuleneb, et kõrvalharipunktide S_3 ja S_4 kaugus fookustest F_1 ja F_2 võrdub suurusega suurusega a definitsioonist:

\overline{F_1 S_3} = \overline{F_2 S_3} = \overline{F_1 S_4} = \overline{F_2 S_4} = a

Sümmeetriakaalutluste tõttu kehtib \overline{F_1 S_1} = \overline{S_2 F_2}


\begin{align}
 \overline{F_1 S_1} + \overline{F_2 S_1}
         &= \overline{F_1 S_1} + \overline{F_2 F_1} + \overline{F_1 S_1}\\
  &= \overline{S_2 F_2} + \overline{F_2 F_1} + \overline{F_1 S_1}\\
  &= 2a.\\
\end{align}

See tähendab, et punktihulga saab esitada konkreetsel kujul:

E = \left\{P \mid \overline{F_1 P} + \overline{F_2 P} = 2a\right\}.

Fookust läbiva ja peateljega risti oleva kõõlu poolpikkust p nimetatakse ellipsi poolparameetriks, mõnikord ka lihtsalt parameetriks p:

p = \tfrac{b^2}a

Ellipsi ekstsentrilisus[muuda | muuda lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Ekstsentrilisus

Ellipsi kuju saab kirjeldada arvuga, mida nimetatakse ekstsentrilisuseks. See näitab ellipsi fookuste vahelist suhtelist kaugust. See on ühest väiksem mittenegatiivne arv, mida tähistatakse tavaliselt tähega \varepsilon.

Ellipsil, mille pikema pooltelje pikkus on a ja lühema pooltelje pikkus on b, on ekstsentrilisus

\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}.

Fookuste kaugust keskpunktist nimetatakse lineaarseks ekstsentrilisuseks ja tähistatakse e. Lineaarse ekstsentrilisuse saab Pythagorase teoreemi järgi arvutada täisnurksest kolmnurgast \Delta M~F_1~S_3:

e = \sqrt{a^2-b^2}.

Dimensioonita suurus ekstsentrilisus

\varepsilon = \frac ea = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}a \in[0,1).

Sellest järeldub:

b = a \sqrt{1 - \varepsilon^2};
p = a \cdot (1 - \varepsilon^2).

Kui a = b, siis \varepsilon = 0 ja ellips on ringjoon.

Kui b = e, siis \varepsilon = \frac{1}{\sqrt{2}} ja ellipsit nimetatakse võrdkülgseks ellipsiks ehk ilusaima kujuga ellipsiks.

Kui a on palju suurem kui b, siis \varepsilon on ligi 1 ning ellips on seega lähedane paraboolile.

Ellips kui koonuselõige[muuda | muuda lähteteksti]

Ellipsit võib vaadelda tasandi lõikena koonusega (koonuselõige), kusjuures lõikenurk tasandi ja koonuse telje vahel peab olema suurem kui pool kaksikkoonuse avanurgast.

Defineerivat omadust ("summa kaugustest kahe fikseeritud punktini...") saab Dandelini kerade abiga tõestada.

Peaasend ja analüütiline definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Ellips, mille keskpunkt on koordinaatide alguspunkt ja mille peatelg langeb kokku x-teljega, nimetatakse ellipsit 1. peaasendis. Niisuguse ellipsi punktide koordinaatide kohta kehtib võrrand

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.

Ellips kui ühikringjoone afiinne kujutis[muuda | muuda lähteteksti]

Teine ellipsi definitsioon kasutab afiinset kujutust. Ellipsit defineeritakse ühikringjoone afiinse kujutusena.[2] Afiinsel kujutusel reaaltasandil on kuju \vec x \to \vec f_0+A\vec x, kus A on regulaarne maatriks (determinant ei ole 0) ja \vec f_0 suvaline vektor. Kui \vec f_1, \vec f_2 on maatriksi A veeruvektorid, siis kujutatakse ühikringjoon (\cos t,\sin t), 0\le\ t \le 2\pi, ellipsile. \vec x = \vec p(t)= \vec f_0 +\vec f_1 \cos t +\vec f_2 \sin t. \vec f_0 on keskpunkt ja \vec f_1, \vec f_2 on ellipsi kaks konjugeeritud diameetrit. \vec f_1, \vec f_2 ei asetse üldjuhul omavahel risti. See tähendab, \vec f_0\pm \vec f_1 ja \vec f_0\pm \vec f_2 ei ole üldjuhul ellipsi haripunktid. See ellipsi definitsioon annab suvalise ellipsi lihtsa parameetrilise esituse.

Et haripunktis on puutuja vastava diameetriga risti ja puutuja suund ellipsi punktis on \vec p'(t) = -\vec f_1\sin t + \vec f_2\cos t, saadakse haripunkti parameeter t_0 võrrandist

\vec p'(t)\cdot (\vec p(t) -\vec f_0) = 
(-\vec f_1\sin t + \vec f_2\cos t)\cdot(\vec f_1 \cos t +\vec f_2 \sin t) =0

ja seega võrrandist \cot (2t_0)= \tfrac{\vec f_1^{\, 2}-\vec f_2^{\, 2}}{2\vec f_1 \cdot \vec f_2}.
(Kasutati valemeid \cos^2 t -\sin^2 t=\cos 2t,\ 2\sin t \cos t = \sin 2t.)

Kui \vec f_1 \cdot \vec f_2=0, siis t_0=0 ja parameetriline esitus on juba haripunktikujul.

Ellipsi neli haripunkti on \vec p(t_0),\vec p(t_0\pm\frac{\pi}{2}),\vec p(t_0+\pi).

Ellipsi parameetrilise esituse haripunktikuju on

\vec x = \vec p(t)= \vec f_0 +(\vec p(t_0)-\vec f_0) \cos (t-t_0) +(\vec p(t_0+\tfrac{\pi}{2})-\vec f_0) \sin (t-t_0).

Näited:

Ellips: teisendus haripunktikujule (näide 3)
  1.  \vec f_0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_1=\begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_2=\begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} annab ellipsi tavalise parameetrilise esituse võrrandiga \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 :\quad
\vec x=\vec p(t)=\begin{pmatrix} a\cos t \\ b\sin t \end{pmatrix}.

Erijuhud[muuda | muuda lähteteksti]

Koonuselõigete kontekstis nimetatakse koonuse keskteljega risti oleva tasandi lõiget, ringjoont, ellipsi erijuhtumiks: kattuvate fookustega ellipsiks. Sellise ellipsi ekstsentrilisus on 0 ja fookuse mõiste kattub ringjoone keskpunkti mõistega.

Kui ellipsi ekstsentrilisus läheneb ühele, venib ellips aina pikemaks, säilitades siiski kinnise lapiku joone kuju. Kui koonust lõikava tasapinna nurk saab paralleelseks koonuse moodustajaga, saab kõverjoone ekstsentrilisus väärtuseks 1 ja lapik kinnine joon katkeb, muutudes u-tähe kujuliseks parabooliks, mille haarad kokku ei puutu.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (asutaja), Günter Grosche (ümbertöötaja), Eberhard Zeidler (toim). Taschenbuch der Mathematik, Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, lk 24.
  2. Vaata: C. Leopold, lk 55.

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]

  • [1]
  • [2] (ingliskeelne lehekülg mathworld.wolfram)