Impulsimoment

Allikas: Vikipeedia

Impulsimoment ehk pöördimpulss ehk liikumishulga moment on mehaanikas jääv suurus, mis on seotud pöördliikumisega.

Punktmassi impulsimoment[muuda | redigeeri lähteteksti]

Punktmassi impulsimoment koordinaatide alguspunkti suhtes on

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}\, ,

kus r on osakese kohavektor, v kiiruse vektor, m mass ja p = mv impulss. × tähistab vektorkorrutist. Impulsimoment fikseeritud punkti r0 suhtes on

\mathbf{L} = (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) \times \mathbf{p}\, .

Näiteks nurkkiirusega ω piki ringjoont raadiusega r tiirleva punktmassi impulsimomendi moodul on

L = mr^2 \omega. \,

Osakeste süsteemi impulsimoment[muuda | redigeeri lähteteksti]

Paljudest osakestest koosneva süsteemi koguimpulsimoment on osakeste impulsimomentide summa:

\mathbf{L} = \sum_i \mathbf{r}_i\times m_i \mathbf{v}_i\, ,

kus ri on i-nda osakese kohavektor, vi selle kiirus ja mi selle mass. (Σi tähistab summat üle kõigi osakeste.)

Impulsimoment ja massikese[muuda | redigeeri lähteteksti]

Osakeste süsteemi jaoks on tihti otstarbekas vaadleda impulsimomenti süsteemi massikeskme

\mathbf{R}=\frac{1}{M}\sum_i m_i \mathbf{r}_i

suhtes, kus

M=\sum_i m_i.\,

tähistab süsteemi kogumassi. Nende suuruste abil saab süsteemi impulsimomendi jagada kahte ossa

\mathbf{L}= \mathbf{L}_0 + \mathbf{R} \times M \mathbf{V}\, ,

kus V = dR/dt on massikeskme liikumise kiirus ja

\mathbf{L}_0 = \sum_i (\mathbf{r}_i - \mathbf{R})\times m_i (\mathbf{v}_i - \mathbf{V})\, ,

on impulsimoment taustsüsteemis, kus massikese on paigal, ent kirjeldab seega süsteemi "sisemist" impulsimomenti. Suurus R × M V kirjeldab aga massikeskme liikumisest tingitud impulsimomenti.

Jäiga keha impulsimoment[muuda | redigeeri lähteteksti]

Nurkiirusega ω ümber oma sümmeetriatelje pöörleva jäiga keha impulsimoment on

\mathbf{L} = I \boldsymbol{\omega} \, .

kus I on keha inertsimoment vaadeldava sümmeetriatelje suhtes.

Impulsimomendi jäävus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui osakesele mõjub jõud F, siis on impulsimomendi muutumise kiirus võrdne jõumomendiga M = r × F:

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{M}.

Osakeste süsteemi koguimpulsimoment on võrdne süsteemile mõjuvate väliste jõudude momentide summaga:

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \sum_i \mathbf{M}_i.

Seega isoleeritud süsteemis, väliste jõudude puudumisel, on osakeste süsteemi koguimpulsimoment jääv - viimane väide väljendab impulsimomendi jäävuse seadust.

Tuginedes Noetheri teoreemile saab impulsimomendi jäävuse järeldada ruumi isotroopsusest, st asjaolust, et ruum on igas suunas ühesugune.

Impulsimoment relatiivsusteoorias[muuda | redigeeri lähteteksti]

Relatiivsusteoorias kirjeldab impulsimomenti impulsimomendi 2-vorm rp, kus r on osakese kohavektor aegruumis ja p on energia-impulsi 4-vektor ning ∧ tähistab väliskorrutist. Et impulsimoment on Noetheri teoreemi kaudu seotud ruumi isotroopsusega, siis pole see kõverates aegruumides üldjuhul jääv.

Impulsimoment kvantmehaanikas[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kvantmehaanikas saab impulsimoment võtta vaid diskreetseid väärtuseid, mis on taandatud Plancki konstandi \hbar poolarv kordsed. Samuti pole impulsimomendi suund kvantmehaanikas määratud - kvantsüsteemi jaoks saab korraga täpselt määratud olla vaid impulsimomendi projektsioon ühele fikseeritud teljele.

Kvantmehaanikas kirjeldarakse vaadeldavaid suuruseid olekuvektoritele mõjuvate operaatorite abil. Orbitaalset impulsimomenti kirjeldab impulsimomendi operaator

\hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{p}}\, ,

mis on koordinaatesituses kujul

\hat{\mathbf{L}} = -i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla)\, ,

kus \nabla on nabla-operaator. Orbitaalne impulsimomendi (projektsiooni) väärtused saavad olla vaid \hbar täisarv kordsed.

Lisaks viimasele võib osake omada ka sisemist impulsimomenti ehk spinni, mille väärtused võivad olla \hbar poolarv kordsed. Spinni kirjeldatakse vastava spinni operaatorga S. Spinniga osakese koguimpulssi kirjeldab operaator

\hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{L}} + \hat{\mathbf{S}}\, .

Impulsimomendi operaatori komponentide vahel kehtivad kanoonilised kommutatsiooniseosed

[\hat{J}_l, \hat{J}_m ] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} \hat{J}_n\, ,

kus εlmn on (täielikult antisümmeetriline) Levi-Civita sümbol ja [X,Y]=XY-YX on kommutaator. Neid seoseid rahuldavad eraldi ka L ja S komponendid.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]