Ekstsentrilisus

Allikas: Vikipeedia
Disambig gray.svg  See artikkel räägib ellipsi ja teiste koonuselõigete ekstsentrilisusest; astronoomia ja füüsika mõiste kohta vaata artiklit Orbiidi ekstsentrilisus; ekstsentrilisuse kohta tehnikas vaata artiklit Ekstsentriku ekstsentrilisus

Ellips
Hüperbool

Mittekõdunud koonuselõike (ellipsi, parabooli või hüperbooli) ekstsentrilisus (tähis \varepsilon ) on arv, mis saadakse fokaalkauguse ja juhtkauguse jagatisena. See määrab koonuselõike kuju. Ellipsi või hüperbooli ekstsentrilisus \varepsilon on lineaarse ekstsentrilisuse e ja pikema pooltelje a jagatis e/a, seega dimensioonita arv.

Ringjoone, ellipsi, parabooli ja hüperbooli ekstsentrilisus

Aluseks on ringjoon ekstsentrilisusega 0. Selle alusega saab võrrelda ellipsi, parabooli ja hüperbooli ekstsentrilisust. Ellipsi ekstsentrilisus on ühest väiksem mittenegatiivne arv. Ellipsil, mille pikema pooltelje pikkus on a ja lühema pooltelje pikkus on b, on ekstsentrilisus \varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}. Mida lähemal on ellipsi ekstsentrilisus arvule 1, seda väljavenitatum, ringjoonest hälbivam, lapikum ellips on. Parabooli ekstsentrilisus on definitsiooni järgi 1 ja hüperboolil suurem kui 1 ning hüperbool on seda avatum, mida suurem on selle ekstsentrilisus.

Koonuse lõikamisel tekkivad kujundid on sarnased siis ja ainult siis, kui neil on võrdne ekstsentrilisus. Kõik ringjooned ja kõik paraboolid on sarnased, sest tasandid, mille abil neid lõigatakse, on lõigatava koonuse suhtes alati sama nurga all. Ellipsid ja hüperboolid aga võivad olla erinevate proportsioonidega, erineva ekstsentrilisusega, sest neid moodustavad lõikavad tasandid võivad olla erinevate nurkade all.

Fokaalkaugus on ellipsi ja hüperbooli puhul fookuste kaugus keskpunktist ehk lineaarne ekstsentrilisus e. Parabooli puhul on fokaalkaugus fookuse kaugus haripunktist.

Astronoomias tähistatakse orbiidi ekstsentrilisust sageli tähega e, mis matemaatikas on lineaarse ekstsentrilisuse tähis.

Matemaatiline käsitlus[muuda | muuda lähteteksti]

Ellips juhtsirgetega

Ekstsentrilisuse all mõisteti algselt ellipsi hälvet ringjoone kujust.[1] Seda hälvet mõõdeti fookuse kaugusega keskpunktist (lineaarse ekstsentrilisusega e), mida nimetati ekstsentrilisuseks. Kui e=0, saame ringjoone. Et ka hüperboolil on keskpunkt ja fookused, laiendati see nimetus ka hüperbooli juhtumile, kuigi hüperbooli puhul ei saa rääkida lähedusest ringjoonele. Paraboolil keskpunkti pole, seega ka mitte ekstsentrilisust lineaarse ekstsentrilisuse mõttes.

Teine võimalus kirjeldada ellipsi hälbimist ringjoone kujust on kasutada suhet \varepsilon=e/a. Kehtivad võrratused 0 \le \varepsilon <1. Ka juhul, kui \varepsilon=0, saame ringjoone. Kui \varepsilon>0, siis on parameeter \varepsilon ka ellipsi definitsiooniga juhtsirge kaudu seotud suhe ellipsi punkti kauguse vahel fookusest ja kauguse vahel juhtsirgest. (Ringjoont ei saa defineerida juhtsirge kaudu.) Kui defineerimisel juhtsirge kaudu lubatakse ka \varepsilon väärtust 1 ja suuremaid väärtusi, siis saadakse vastavalt parabool või hüperbool. Seega on parameeter \varepsilon kirjeldada ellipsite, paraboolide ja hüperboolide ühine parveparameeter. Näiteks kirjeldab võrrand

x^2(\varepsilon^2-1)+2px-y^2=0, \quad \varepsilon \ge 0, \ p>0

kõiki ellipseid (sealhulgas ringjoont), parabooli ja kõik hüperboolu, mille ühiseks haripunktiks on koordinaatide alguspunkt ja ühiseks teljeks x-telg ning millel on haripunktis sama kõrverus. (p on ühise kõverusringjoone raadius haripunktis.)

Ekstsentrilisus \varepsilon on kahe pikkuse jagatis ning on seega dimensioonita suurus.

Ellipsi ja hüperbooli puhul \varepsilon=e/a=\sqrt{1\mp \frac{b^2}{a^2}}\ne 1, parabooli puhul \varepsilon=1.

Joonis ekstsentrilisuse definitsiooni juurde koonuse kaudu

Kui käsitada ellipsit, parabooli või hüperbooli püstise ringkaksikkoonuse lõikena tasandiga, siis väljendub ekstsentrilisus valemiga \varepsilon=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}, \ \ 0<\alpha<90^\circ, \ 0\le\beta\le90^\circ,

kus \alpha on avanurk (koonuse moodustaja kaldenurk) ja \beta lõikenurk (lõikava tasandi kaldenurk; vt joonist).[2] Kui \beta=0, saame ringjoone ja kui \beta=\alpha, saame parabooli. (Tasand ei tohi sisaldada koonuse tippu.)

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Jacob Steiner's Vorlesungen über synthetische Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig 1867 (Google'i raamat).
  2. Barner Graf. Darstellende Geometrie, Quelle & Meyer-Verlag, 1973, lk 169–173.

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]

  • [[1]] (Autor Siiri Künnapas. Ellipsi ekstsentrilisusest)