Tasand

Allikas: Vikipeedia
Disambig gray.svg  See artikkel räägib matemaatika mõistest; filosoofia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (filosoofia); anatoomia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (anatoomia)

Tasand ehk tasapind on kahemõõtmeline eukleidiline ruum.[1] See on punkti ja sirge kahemõõtmeline analoog. Tasand võib olla mõne kõrgemamõõtmelise ruumi alamruum või ka iseseisev matemaatiline objekt. Antud artikkel keskendub tasandile kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis.

Tasand kolmemõõtmelises ruumis[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis3 on tasandi võrrand viidav alati kujule

ax + by + cz + d = 0 \, .

kus x, y, z on tasandi punkti koordinaadid ja a, b, c, d [[reaalarv]ulised kordajad.

Tasand on samuti üheselt määratud iga järgneva kombinatsiooniga:

  • kolme mitte-kollineaarse tasandil asuva punktiga;
  • tasandil asuva sirge ja väljaspool seda sirget asuva punktiga, mis asub tasandil;
  • kahe tasandil asuva sirgega;

Tasandi määramine punkti normaalvektori abil[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tasandi võrrand on normaalvektori \,\vec{n}=(a; b; c) abil esitatav kujul

\vec{n} \cdot (\vec{r}-\vec{r}_0) = 0 \, ,

kus \,\vec{r}=(x; y; z) on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et \,\vec{r}_{0} =(x_{0}; y_{0}; z_{0}) on mingi punkt tasandil, siis peab kehtima \vec{n} \cdot \vec{r}_{0} = -d, \,. Et vektorite skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vektorid on risti, siis ütleb viimane võrrand, et tasand on selline pind, mis läbib punkti \vec{r}_{0} ja mille suvalist kaht punkti ühendav vektor on risti vektoriga \vec{n}.

Tasandi määramine kolme mitte-kollineaarse punktiga[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu \vec r_1 = (x_1 ; y_1 ; z_1), \vec r_2 = (x_2 ; y_2 ; z_2) ja \vec r_3 = (x_3 ; y_3 ; z_3) mitte-kollineaarsete punktide kohavektorid.

Meetod 1[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tasandi võrrand on antud järgneva determinandiga:

\left|
\begin{array}{ccc}
 x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\
 x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\
 x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{array}
\right|=0

mis Laplace'i arendust kasutades annab võrrandi kujul

\left(x-x_1\right) \left|
\begin{array}{cc}
 y_2-y_1 & z_2-z_1 \\
 y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{array}
\right|-\left(y-y_1\right) \left|
\begin{array}{cc}
 x_2-x_1 & z_2-z_1 \\
 x_3-x_1 & z_3-z_1
\end{array}
\right|+\left(z-z_1\right) \left|
\begin{array}{cc}
 x_2-x_1 & y_2-y_1 \\
 x_3-x_1 & y_3-y_1
\end{array}
\right|=0

Esimese 3x3 derminandi saab samaväärselt esitada segakorrutisena. See annab võrrandi

(\vec r - \vec r_1) \times (\vec r_1 - \vec r_2) \cdot (\vec r_2 - \vec r_3) = 0.

Meetod 2[muuda | redigeeri lähteteksti]

Et kolm punkti asuvad tasandil, siis peavad nad rahuldama tasandi võrrandit:


\left\{
\begin{array}{c}
 ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0 \\
 ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0 \\
 ax_3 + by_3 + cz_3 + d = 0
\end{array}
\right.

Defineerides

saab kordajad a, b, c leida Crameri valemite abil:


a = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
1 & y_1 & z_1 \\
1 & y_2 & z_2 \\
1 & y_3 & z_3
\end{vmatrix},
\quad
b = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
x_1 & 1 & z_1 \\
x_2 & 1 & z_2 \\
x_3 & 1 & z_3
\end{vmatrix},
\quad
c = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{vmatrix},
\quad \mbox{kus } \,
D = 
\begin{vmatrix} 
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
x_3 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}.

d on siin vabalt valitav suurus. Võrrandite lõplikuks lahendamiseks võib parameetrile d anda suvalise (nullist erineva) väärtuse.

Kui tasand ei läbi koordinaatide alguspunkti, siis D ≠ 0 kohavektorite mitte-kollineaarsed tõttu. Antud meetod ei tööta, kui tasand läbib koordinaatide alguspunkti, sest siis pole võimalik valida punkte, mille kohavektorid oleksid mitte-komplanaarsed, mistõttu D = 0.

Meetod 3[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tasandi normaalvektori saab esitada kahe tasandil asetseva mitteparalleelse vektori vektorkorrutisena:

\vec n = ( \vec r_2 - \vec r_1 ) \times (\vec r_3 - \vec r_1 ) \, ,

Tasandi üheseks määramiseks on tarvis veel punkti tasandil, milleks võib valid ühe punktidest \vec r_1, \vec r_2 või \vec r_3.

Punkti kaugus tasandist[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu antud suvaline punkt kohavektoriga \vec r_1 = (x_1, y_1, z_1) ja tasand Π võrrandiga \,ax + by + cz + d = 0, siis punkti \vec r_0 kaugus tasandist on

\varrho (\vec r_1 ,A)= \frac{\left|d+ a\text{x}_1+\text{b}y_1+\text{c}z_1\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\, .

Normaalvektori abil ja mõne tasandil asuva punkti \vec r_0 abil saab kauguse esitada kujul

\varrho (\vec r_1 ,A)= \left|\hat n\cdot(\vec r_1 - \vec r_0)\right|\, ,

kus \hat n on tasandi ühiknormaalvektor.

Kahetahuline nurk tasandite vahel[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu antud kaks tasandit \Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0\, ja \Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0\,. Tasandite vaheline kahetahuline nurk \alpha on nurk nende tasandite normaalvektorite vahel:

\cos\alpha = \hat n_1\cdot \hat n_2 = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.

kus \hat n_1 ja \hat n_2 on vastavate tasandite ühiknormaalvektorid.

Puutujatasand[muuda | redigeeri lähteteksti]

Pinna \,z = e^{-(x^2 + y^2)} puutujatasand punktis (0.2, 0.2, f(0.2,0.2)).

Olgu pind esitatud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y,z) = 0, siis pinna puutujatasandi võrrand (pinnal asetsevas) punktis \vec r_0 = (a, b, c) on

\,\frac{\partial F(a,b,c)}{\partial x} (x-a) + \frac{\partial F(a,b,c)}{\partial y}(y-b) + \frac{\partial F(a,b,c)}{\partial z}(z-c) = 0 \, ,

ehk gradiendi abil esitatuna

(\vec r-\vec r_0)\cdot\vec \nabla F(\vec r_0) = 0 \, .

Hüpertasand[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Hüpertasand

n-mõõtmelise ruumi (n-1)-mõõtmelist tasast alamruumi ninetatakse hüpertasandiks. Hüpertasandi võrrand on

a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + d = 0, või lihtsalt \left(\sum _{i=1}^n a_ix_i\right)+d=0.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.