Tasand

Allikas: Vikipeedia
Disambig gray.svg  See artikkel räägib matemaatika mõistest; filosoofia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (filosoofia); anatoomia mõiste kohta vaata artiklit Tasand (anatoomia)

Tasand ehk tasapind on kahemõõtmeline eukleidiline ruum.[1] See on punkti ja sirge kahemõõtmeline analoog. Tasand võib olla mõne kõrgemamõõtmelise ruumi alamruum või ka iseseisev matemaatiline objekt. Antud artikkel keskendub tasandile kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis.

Tasand kolmemõõtmelises ruumis[muuda | muuda lähteteksti]

Kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis3 on tasandi võrrand viidav alati kujule

kus x, y, z on tasandi punkti koordinaadid ja a, b, c, d reaalarvulised kordajad.

Tasand on samuti üheselt määratud iga järgneva kombinatsiooniga:

  • kolme mitte-kollineaarse tasandil asuva punktiga;
  • tasandil asuva sirge ja väljaspool seda sirget asuva punktiga, mis asub tasandil;
  • kahe tasandil asuva sirgega;

Tasandi määramine punkti normaalvektori abil[muuda | muuda lähteteksti]

Tasandi võrrand on normaalvektori abil esitatav kujul

kus on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et on mingi punkt tasandil, siis peab kehtima . Et vektorite skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vektorid on risti, siis ütleb viimane võrrand, et tasand on selline pind, mis läbib punkti ja mille suvalist kaht punkti ühendav vektor on risti vektoriga .

Tasandi määramine kolme mitte-kollineaarse punktiga[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu , ja mitte-kollineaarsete punktide kohavektorid.

Meetod 1[muuda | muuda lähteteksti]

Tasandi võrrand on antud järgneva determinandiga:

mis Laplace'i arendust kasutades annab võrrandi kujul

Esimese 3x3 derminandi saab samaväärselt esitada segakorrutisena. See annab võrrandi

Meetod 2[muuda | muuda lähteteksti]

Et kolm punkti asuvad tasandil, siis peavad nad rahuldama tasandi võrrandit:

Defineerides

saab kordajad a, b, c leida Crameri valemite abil:

d on siin vabalt valitav suurus. Võrrandite lõplikuks lahendamiseks võib parameetrile d anda suvalise (nullist erineva) väärtuse.

Kui tasand ei läbi koordinaatide alguspunkti, siis D ≠ 0 kohavektorite mitte-kollineaarsed tõttu. Antud meetod ei tööta, kui tasand läbib koordinaatide alguspunkti, sest siis pole võimalik valida punkte, mille kohavektorid oleksid mitte-komplanaarsed, mistõttu D = 0.

Meetod 3[muuda | muuda lähteteksti]

Tasandi normaalvektori saab esitada kahe tasandil asetseva mitteparalleelse vektori vektorkorrutisena:

Tasandi üheseks määramiseks on tarvis veel punkti tasandil, milleks võib valid ühe punktidest , või .

Punkti kaugus tasandist[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu antud suvaline punkt kohavektoriga ja tasand Π võrrandiga , siis punkti kaugus tasandist on

Normaalvektori abil ja mõne tasandil asuva punkti abil saab kauguse esitada kujul

kus on tasandi ühiknormaalvektor.

Kahetahuline nurk tasandite vahel[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu antud kaks tasandit ja . Tasandite vaheline kahetahuline nurk on nurk nende tasandite normaalvektorite vahel:

kus ja on vastavate tasandite ühiknormaalvektorid.

Puutujatasand[muuda | muuda lähteteksti]

Pinna puutujatasand punktis (0.2, 0.2, f(0.2,0.2)).

Olgu pind esitatud ilmutamata kujul võrrandiga , siis pinna puutujatasandi võrrand (pinnal asetsevas) punktis on

ehk gradiendi abil esitatuna

Hüpertasand[muuda | muuda lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Hüpertasand

n-mõõtmelise ruumi (n-1)-mõõtmelist tasast alamruumi ninetatakse hüpertasandiks. Hüpertasandi võrrand on

, või lihtsalt .

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.