Tasand ehk tasapind on kahemõõtmeline eukleidiline ruum .[ 1] punkti ja sirge kahemõõtmeline analoog. Tasand võib olla mõne kõrgemamõõtmelise ruumi alamruum või ka iseseisev matemaatiline objekt. Antud artikkel keskendub tasandile kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis .
Kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis ℝ3 on tasandi võrrand viidav alati kujule
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
.
{\displaystyle ax+by+cz+d=0\,.}
kus x , y , z on tasandi punkti koordinaadid ja a , b , c , d reaalarvulised kordajad.
Tasand on samuti üheselt määratud iga järgneva kombinatsiooniga:
kolme mittekollineaarse tasandil asuva punktiga ;
tasandil asuva sirge ja väljaspool seda sirget asuva punktiga, mis asub tasandil;
kahe tasandil asuva sirgega; Tasandi võrrand on normaalvektori
n
→
=
(
a
;
b
;
c
)
{\displaystyle \,{\vec {n}}=(a;b;c)}
n
→
⋅
(
r
→
−
r
→
0
)
=
0
,
{\displaystyle {\vec {n}}\cdot ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})=0\,,}
kus
r
→
=
(
x
;
y
;
z
)
{\displaystyle \,{\vec {r}}=(x;y;z)}
kohavektor . See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et
r
→
0
=
(
x
0
;
y
0
;
z
0
)
{\displaystyle \,{\vec {r}}_{0}=(x_{0};y_{0};z_{0})}
n
→
⋅
r
→
0
=
−
d
,
{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {r}}_{0}=-d,\,}
skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vektorid on risti, siis ütleb viimane võrrand, et tasand on selline pind, mis läbib punkti
r
→
0
{\displaystyle {\vec {r}}_{0}}
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
Olgu
r
→
1
=
(
x
1
;
y
1
;
z
1
)
{\displaystyle {\vec {r}}_{1}=(x_{1};y_{1};z_{1})}
r
→
2
=
(
x
2
;
y
2
;
z
2
)
{\displaystyle {\vec {r}}_{2}=(x_{2};y_{2};z_{2})}
r
→
3
=
(
x
3
;
y
3
;
z
3
)
{\displaystyle {\vec {r}}_{3}=(x_{3};y_{3};z_{3})}
Tasandi võrrand on antud järgneva determinandiga :
|
x
−
x
1
y
−
y
1
z
−
z
1
x
2
−
x
1
y
2
−
y
1
z
2
−
z
1
x
3
−
x
1
y
3
−
y
1
z
3
−
z
1
|
=
0
{\displaystyle \left|{\begin{array}{ccc}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{array}}\right|=0}
mis Laplace'i arendust kasutades annab võrrandi kujul
(
x
−
x
1
)
|
y
2
−
y
1
z
2
−
z
1
y
3
−
y
1
z
3
−
z
1
|
−
(
y
−
y
1
)
|
x
2
−
x
1
z
2
−
z
1
x
3
−
x
1
z
3
−
z
1
|
+
(
z
−
z
1
)
|
x
2
−
x
1
y
2
−
y
1
x
3
−
x
1
y
3
−
y
1
|
=
0
{\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left|{\begin{array}{cc}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{array}}\right|-\left(y-y_{1}\right)\left|{\begin{array}{cc}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{array}}\right|+\left(z-z_{1}\right)\left|{\begin{array}{cc}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{array}}\right|=0}
Esimese 3x3 derminandi saab samaväärselt esitada segakorrutisena . See annab võrrandi
(
r
→
−
r
→
1
)
×
(
r
→
1
−
r
→
2
)
⋅
(
r
→
2
−
r
→
3
)
=
0.
{\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1})\times ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})\cdot ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{3})=0.}
Et kolm punkti asuvad tasandil, siis peavad nad rahuldama tasandi võrrandit:
{
a
x
1
+
b
y
1
+
c
z
1
+
d
=
0
a
x
2
+
b
y
2
+
c
z
2
+
d
=
0
a
x
3
+
b
y
3
+
c
z
3
+
d
=
0
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0\\ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0\\ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0\end{array}}\right.}
Defineerides
{\displaystyle }
saab kordajad a , b , c leida Crameri valemite abil:
a
=
−
d
D
|
1
y
1
z
1
1
y
2
z
2
1
y
3
z
3
|
,
b
=
−
d
D
|
x
1
1
z
1
x
2
1
z
2
x
3
1
z
3
|
,
c
=
−
d
D
|
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
|
,
kus
D
=
|
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
|
.
{\displaystyle a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}},\quad b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}},\quad c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}},\quad {\mbox{kus }}\,D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}.}
d on siin vabalt valitav suurus. Võrrandite lõplikuks lahendamiseks võib parameetrile d anda suvalise (nullist erineva) väärtuse.
Kui tasand ei läbi koordinaatide alguspunkti, siis D ≠ 0 kohavektorite mittekollineaarsuse tõttu. See meetod ei tööta, kui tasand läbib koordinaatide alguspunkti, sest siis pole võimalik valida punkte, mille kohavektorid oleksid mittekomplanaarsed , mistõttu D = 0.
Tasandi normaalvektori saab esitada kahe tasandil asetseva mitteparalleelse vektori vektorkorrutisena :
n
→
=
(
r
→
2
−
r
→
1
)
×
(
r
→
3
−
r
→
1
)
,
{\displaystyle {\vec {n}}=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\times ({\vec {r}}_{3}-{\vec {r}}_{1})\,,}
Tasandi üheseks määramiseks on tarvis veel punkti tasandil, milleks võib valid ühe punktidest
r
→
1
{\displaystyle {\vec {r}}_{1}}
r
→
2
{\displaystyle {\vec {r}}_{2}}
r
→
3
{\displaystyle {\vec {r}}_{3}}
Olgu antud suvaline punkt kohavektoriga
r
→
1
=
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle {\vec {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}
Π võrrandiga
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
{\displaystyle \,ax+by+cz+d=0}
r
→
0
{\displaystyle {\vec {r}}_{0}}
ϱ
(
r
→
1
,
A
)
=
|
d
+
a
x
1
+
b
y
1
+
c
z
1
|
a
2
+
b
2
+
c
2
.
{\displaystyle \varrho ({\vec {r}}_{1},A)={\frac {\left|d+a{\text{x}}_{1}+{\text{b}}y_{1}+{\text{c}}z_{1}\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\,.}
Normaalvektori abil ja mõne tasandil asuva punkti
r
→
0
{\displaystyle {\vec {r}}_{0}}
ϱ
(
r
→
1
,
A
)
=
|
n
^
⋅
(
r
→
1
−
r
→
0
)
|
,
{\displaystyle \varrho ({\vec {r}}_{1},A)=\left|{\hat {n}}\cdot ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{0})\right|\,,}
kus
n
^
{\displaystyle {\hat {n}}}
ühiknormaalvektor .
Olgu antud kaks tasandit
Π
1
:
a
1
x
+
b
1
y
+
c
1
z
+
d
1
=
0
{\displaystyle \Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\,}
Π
2
:
a
2
x
+
b
2
y
+
c
2
z
+
d
2
=
0
{\displaystyle \Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,}
kahetahuline nurk
α
{\displaystyle \alpha }
nurk nende tasandite normaalvektorite vahel:
cos
α
=
n
^
1
⋅
n
^
2
=
a
1
a
2
+
b
1
b
2
+
c
1
c
2
a
1
2
+
b
1
2
+
c
1
2
a
2
2
+
b
2
2
+
c
2
2
.
{\displaystyle \cos \alpha ={\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.}
kus
n
^
1
{\displaystyle {\hat {n}}_{1}}
n
^
2
{\displaystyle {\hat {n}}_{2}}
ühiknormaalvektorid .
Pinna
z
=
e
−
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle \,z=e^{-(x^{2}+y^{2})}}
Olgu pind esitatud ilmutamata kujul võrrandiga
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,z)=0}
puutujatasandi võrrand (pinnal asetsevas) punktis
r
→
0
=
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(a,b,c)}
∂
F
(
a
,
b
,
c
)
∂
x
(
x
−
a
)
+
∂
F
(
a
,
b
,
c
)
∂
y
(
y
−
b
)
+
∂
F
(
a
,
b
,
c
)
∂
z
(
z
−
c
)
=
0
,
{\displaystyle \,{\frac {\partial F(a,b,c)}{\partial x}}(x-a)+{\frac {\partial F(a,b,c)}{\partial y}}(y-b)+{\frac {\partial F(a,b,c)}{\partial z}}(z-c)=0\,,}
ehk gradiendi abil esitatuna
(
r
→
−
r
→
0
)
⋅
∇
→
F
(
r
→
0
)
=
0
.
{\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {\nabla }}F({\vec {r}}_{0})=0\,.}
Pikemalt artiklis Hüpertasand n -mõõtmelise ruumi (n-1) -mõõtmelist tasast alamruumi nimetatakse hüpertasandiks . Hüpertasandi võrrand on
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
+
d
=
0
{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}+d=0}
(
∑
i
=
1
n
a
i
x
i
)
+
d
=
0
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)+d=0}
↑ Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon . Tartu.
Pikemalt artiklis Hüpertasand
