Täisnurkne kolmnurk

Allikas: Vikipeedia
Täisnurkne kolmnurk. Küljed a ja b on kaatetid ning c on hüpotenuus

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk ehk 90° = π/2 rad.[1]

Täisnurga lähiskülgesid nimetatakse kaatetiteks ja selle vastaskülge hüpotenuusiks. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi tähistatakse enamasti tähega c ning kaateteid tähtedega a ja b.[1]

Hüpotenuus on alati pikem kummastki kaatetist. Hüpotenuusi lähisnurgad on väiksemad täisnurgast ja nende summa võrdub täisnurgaga.

Täisnurkne kolmnurk võib olla erikülgne või võrdhaarne, kuid mitte võrdkülgne.[2]

Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa võrdub täisnurgaga.[3]

Pythagorase teoreemi järgi võrdub kaatetite ruutude summa hüpotenuusi ruuduga:

a^2 + b^2 = c^2. \,

Eukleidese teoreemi järgi võrdub täisnurkse kolmnurga kaateti ruut selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega.[3]

Täisnurkse kolmnurga siseringjoone raadius võrdub poolega kaatetite summast, millest on lahutatud hüpotenuus: r = (a + b - c) / 2.[3]

Täisnurkse kolmnurga ümberringjoone diameeter võrdub hüpotenuusiga ja raadius võrdub poolega hüpotenuusist.[3] Vastavalt Thalese teoreemile on hüpotenuusi keskpunkt ühtlasi täisnurkse kolmnurga ümberringjoone keskpunkt.

Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub poolega kaatetite korrutisest.[3]

Kongruentsus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kaks täisnurkset kolmnurka on kongruentsed, kui on täidetud ükskõik milline järgmisest neljast tingimusest:[3]

  • Ühe kolmnurga kaatetid on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kaatetitega.
  • Ühe kolmnurga kaatet ja selle juures olev teravnurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kaateti ja selle juures oleva teravnurgaga.
  • Ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on vastavalt võrdsed teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.
  • Ühe kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga hüpotenuusi ja teravnurgaga.

Konstrueerimine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Täisnurkset kolmnurka saab konstrueerida siis, kui on antud ükskõik milline järgmisest neljast nõudest:[4]

  • kaks kaatetit
  • kaatet ja selle juures olev teravnurk
  • hüpotenuus ja kaatet
  • hüpotenuus ja teravnurk.

Trigonomeetrilised funktsioonid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Täisnurkse kolmnurga kaudu saab defineerida trigonomeetrilised funktsioonid:

  • Teravnurga siinus on selle nurga vastaskaateti suhe hüpotenuusi.
  • Teravnurga koosinus on selle nurga lähiskaateti suhe hüpotenuusi.
  • Teravnurga tangens on selle nurga vastaskaateti suhe lähiskaatetisse.
  • Teravnurga kootangens on selle nurga lähiskaateti suhe vastaskaatetisse.
  • Teravnurga seekans on hüpotenuusi suhe selle nurga lähiskaatetisse.
  • Teravnurga koosekans on hüpotenuusi suhe selle nurga vastaskaatetisse.

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. 1,0 1,1 Endel Jürimäe, Kalle Velsker. "Matemaatika käsiraamat IX–XI klassile". Tallinn, "Valgus" 1987, lk. 201
  2. "Matemaatika käsiraamat IX–XI klassile", lk. 186-187
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 "Matemaatika käsiraamat IX–XI klassile", lk. 202
  4. "Matemaatika käsiraamati IX–XI klassile", lk. 202-203