Maatriks

Allikas: Vikipeedia
Disambig gray.svg  See artikkel räägib matemaatika mõistest; muude tähenduste kohta vaata artiklit Maatriks (täpsustus).

Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis koosneb arvudest (tavaliselt reaalarvudest või kompleksarvudest) või mingitest muudest etteantud hulga elementidest, sealhulgas näiteks polünoomidest, funktsioonidest, diferentsiaalidest, vektoritest. Tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks või maatriksi komponentideks. Maatriksi elementide tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) kaudu on võimalik defineerida ka tehted maatriksitega.

Tavaliselt eeldatakse, et selle hulga elemente, millest maatriksi elemendid võetakse, saab liita ja lahutada sarnaselt arvudega (nad moodustavad Abeli rühma). Lineaaralgebras eeldatakse tavaliselt ka, et neid saab arvude kombel korrutada ja jagada (nad moodustavad korpuse). Üldistustes lepitakse ka suurema lahknemisega arvudest: võidakse piirduda nõudmisega, et nad moodustavad ühikelemendiga assotsiatiivse ringi. Et osutada sellele, kust maatriksi elemendist võetakse, räägitakse maatriksist üle mingi hulga, ringi või korpuse (näiteks reaalarvuliste elementidega maatriksit nimetatakse üle reaalarvude korpuseks).

Maatriksid kuuluvad lineaaralgebra kesksete objektide hulka. Neid uurib maatriksite teooria.

Maatrikseid kasutatakse näiteks lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel.

Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Maatriks on eristatavate horisontaalsete ridade ja vertikaalsete veergudega ümarsulgudesse asetatud arvudest (või üldiselt ringi elementidest) koosnev tabel. Näiteks


A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4&9&2 \\
6&0&5\end{pmatrix}

Maatriksi kui tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi suurus määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatiksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Naturaalarvude paari m × n nimetatakse maatriksi järguks [1] ja täisarve m ja n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4-korda-3 maatriksit.


Maatrikseid, mille ridade ja veergude arvud kattuvad, nimetatakse ruutmaatriksiteks. n × n ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n.

Tähistus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Elemendi kohta, mis asub maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus, öeldakse, et see element asub kohal i-j.

Maatrikseid tähistatakse suurte ladina tähtedega, ning elemente üldjuhul väikeste ladina tähtedega, mis on varustatud kahe asukohale viitava indeksiga, kusjuures esimene indeks viitab reale ja teine veerule. m × n maatriksit


A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{m1} & a_{m1} & \ldots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}

esitatakse lühidalt üldelemendi aij abil: A=(aij). Kasutusel on ka tähistus, kus maatriksi elementi tähistatakse sama sümboliga, kui maatriksit ennast. Näiteks (A)ij või ka sulgudeta Aij.

Maatriksit, mille üks dimensioonidest võrdub ühega, nimetatakse ka vektoriks. Täpsemalt, maatrikseid dimensioonidega 1 × n ja m × 1 nimetatakse vastavalt rea- ja veeruvektoriteks. Näiteks


A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 
\end{pmatrix}

on 1 × 3 reavektor.

Maatriksit, mille elemendid kuuluvad ringi R, nimetatakse maatriksiks üle R. Näiteks maatrikseid, mille elementideks on reaalarvud, nimetatakse maatrikseiks üle reaalarvude.

Tehted maatriksitega[muuda | redigeeri lähteteksti]

Liitmine, korrutamine skalaariga ja transponeerimine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Maatriksite liitmine
Next.svg Pikemalt artiklis Skalaariga korrutamine
Next.svg Pikemalt artiklis Transponeerimine

Lihtsaimad tehted maatriksitega on maatriksite liitmine, skalaariga korrutamine ja transponeerimine.

Tehe Definitsioon Näide
Liitmine Summa A+B kahe m × n maatriksi A ja B vahel leitakse elementhaaval:
(A + B)ij = Aij + Bij, kus 1 ≤ im and 1 ≤ jn.



\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 5  \\
7 & 5 & 0  
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1+0 & 3+0 & 1+5 \\
1+7 & 0+5 & 0+0 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 6 \\
8 & 5 & 0 
\end{pmatrix}.

Skalaariga korrutamine Maatriksi A korrutamisel skalaariga c korrutatakse kõiki maatriksi elemendid ükshaaval läbi skalaariga c:
(cA)i,j = c · Aij.
2 \cdot

\begin{pmatrix}
1 & 8 & -3 \\
4 & -2 & 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\
2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 16 & -6 \\
8 & -4 & 10
\end{pmatrix}.
Transponeerimine m × n maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n × m maatriks, mis saadakse veergude ja ridade ära vahetamisel:
(AT)i,j = (A)j,i.


\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 \\
0 & -6 & 0
\end{pmatrix}^T = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
3 & -6 \\
1 & 0
\end{pmatrix}

Juba tuttavad tehete omadused arvudega (või ringi elementidega) kanduvad maatriksitele üle: näiteks liitmine on kommutatiivne st A + B = B + A. Transponeerimise tehe, mida arvude (või ringi elementide) jaoks ei eksisteeri, ühildub liitmise ja skalaariga korrutamisega kui (cA)T = c(AT) ja (A + B)T = AT + BT. Veel kehtib (AT)T = A.

Korrutamine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Üldistatud kuju meeldetuletusega, et esimese maatriksi ridade arv peab võrduma teise maatriksi veergude arvuga.
Next.svg Pikemalt artiklis Maatriksite korrutamine

Kahte maatriksit saab korrutada vaid siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga. Kui A on m × n maatriks ja B on n × p siis AB on m × p maatriks, mille elemendid on

 (AB)_{ij} = (A)_{i1}(B)_{1j} + (A)_{i2}(B)_{2j} + \ldots + (A)_{in}(B)_{nj} = \sum_{k=1}^n (A)_{ik}(B)_{kj}

iga i = 1,2 ... m ja j = 1,2 ... p korral.

Näiteks


  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{pmatrix}.
  \begin{pmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
      1 \cdot 3  +  0 \cdot 2  +  2 \cdot 1  & 1 \cdot 1   +   0 \cdot 1   +   2 \cdot 0 \\
     -1 \cdot 3  +  3 \cdot 2  +  1 \cdot 1 & -1 \cdot 1   +   3 \cdot 1   +   1 \cdot 0 \\
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{pmatrix}.

ja sarnaselt

 \left(
\begin{array}{cc}
 3 & 1 \\
 2 & 1 \\
 1 & 0
\end{array}
\right).\left(
\begin{array}{ccc}
 1 & 0 & 2 \\
 -1 & 3 & 1
\end{array}
\right)=

\left(
\begin{array}{ccc}
 2 & 3 & 7 \\
 1 & 3 & 5 \\
 1 & 0 & 2
\end{array}
\right)

Maatriksite korrutamine on:

Kui korrutis AB on defineeritud ei pruugi korrutis BA defineeritud olla. Täpsemalt on mõlemad korrutised defineeritud parajasti siis, kui A ja B on sama järku ruutmaatriksid. Ka siis kui AB ja BA defineeritud on ei pruugi need korrutised võrdsed olla st üldjuhul

ABBA.

st erinevalt reaal- või kompleksarvude korrutamisest pole maatriksite korrutamine kommutatiivne.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Üldist

Mõned reaalarvudega seotud maatriksid

Mõned kompleksarvudega seotud maatriksid

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (Valgus 1982)

Välislingid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Võrgus leiduvad maatriksite kalkulaatorid