Koonus

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Disambig gray.svg  See artikkel räägib kehast; koonuseks nimetatakse ka koonilist pinda

Koonus

Koonus on pöördkeha, mida piirab koonilise pinna üks kate ja seda pöörlemisteljega lõikav tasand. Neid pindu nimetatakse vastavalt koonuse külgpinnaks ja koonuse põhjatasandiks. Katte sees paiknevat koonuse põhjatasandi osa nimetatakse koonuse põhjaks ja koonilise pinna tippu nimetatakse koonuse tipuks. Koonuse moodustajaks nimetatakse külgpinnal asuvat tipu ja põhjatasapinna vahelist sirglõiku.

Koonuse all mõistetakse mõnikord, näiteks koonuselõike puhul, ka ainult koonilist pinda ennast. Põhihariduses käsitletakse peamiselt pöördkoonust.

Koonuste liigid[muuda | muuda lähteteksti]

Koonuse ruumala[muuda | muuda lähteteksti]

Iga koonuse ruumala on

kus h on koonuse kõrgus ja Sp on koonuse põhjapindala.

Pöördkoonuse pindala[muuda | muuda lähteteksti]

Pöördkoonuse külgpindala on

kus r on põhja raadius ja m on koonuse moodustaja (tipu kaugus põhja ringjoone punktist). Pöördkoonuse külgpindala on sama suur kui ringi (mille raadiuseks on m) vastava sektori pindala. Selle sektori kaare pikkuseks on koonuse põhjaks oleva ringi ümbermõõt.

Põhjapindala on


Koonuse täispindala on järelikult

Koonuselõiked[muuda | muuda lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Koonuselõige

Selleks, et võimalikult terviklikult käsitleda kõiki koonuse lõikeid erinevate tasapindadega, viiakse tinglikult koonuse põhi lõpmatusse kaugusse ja vaadeldakse nõndanimetatud kaksikkoonust: kahte põhjatut koonilist pinda, mis puutuvad tippudega kokku, asuvad ühisel sümmeetriateljel ja omavad ühise sirgjoonena kulgevat mõlemas suunas lõpmatult pikka moodustajat. Sellist kaks-ühes-koonust lõigatakse kesktelje suhtes erinevate nurkade all olevate tasanditega. Lõiked koonuste ühisest tipust annavad kidunud ehk kõdunud juhtumid: Kui lõikav tasand läbib ainult koonuse tipu punkti, siis lõike tulemuseks on ainult punkt, ringjoone piirjuhtum - ring raadiusega 0. Kui lõige on läbi tipu, kattudes koonuse moodustajaga, on tulemus sirgjoon. Lõikeid, mis saadakse tasandiga, mis läbib koonuse tippu, ei loeta tavaliselt koonuselõigete pere liikmeks. Need on kidunud juhtumid. Kui lõige tehakse tipust eemalt ja lõikava tasapinna nurka muudetakse alustades ristlõikest, saadakse vastavalt nurga muutumisele tulemuseks geomeetrilised kujundid: ringjoon, ellips, parabool ja hüperbool, mis erinevad üksteisest oma ekstsentrilisuse poolest. Kuigi ringjoonel on siin teistest lõigetest täiesti selgelt eristuv ainulaadne omadus, siis traditsiooniliselt vaadeldakse koonuselõike kontekstis ringjoont mitte kui eraldi üksust, vaid kui ellipsi erijuhtu, mille ekstsentrilisus on 0. Koonuse lõigete seaduspära aitavad mõista lõigete fookused ja juhtsirged. Seda, kus täpselt vastava lõike fookus/fookused ja juhtsirge/juhtsirged paiknevad saab tuletada kasutades koonuse sees asuvaid nö. Dandelini kerasid (inglise keeles Dandelin spheres).

Kui koonus on pöördkujuline (põhjaga) keha, siis selle koonuse telglõige on võrdhaarne kolmnurk.

Põhjaliku koonuselõigete uurimuse avaldas Vana-Kreeka matemaatik Apollonios Pergest.

Koonuse erinevatest tipunurkadest[muuda | muuda lähteteksti]

Kui pöördkoonust moodustava täisnurkse kolmnurga pöörlemisteljeks oleva kaateti pikkus väheneb ja teine kaatet suureneb, muutub sellise koonuse nurk nürinurgaks, lähenedes järk-järgult tasapinnalisele ringile. Kui selle koonuse sümmeetriatelg on vertikaalne nagu tavaliselt, siis taolise "koonuse" külgvaade on horisontaalne sirge. Ja vastupidi, kui täisnurkse kolmnurga pöörlemisteljeks olev kaatet pikeneb ja põhja moodustav kaatet lüheneb, tekib teravnurkne koonus, mis piirjuhul moodustab vertikaalse joone nii, et koonusest jääb alles ainult telgjoon. Selliseid erinevate äärmustega kolmnurki võib vaadelda ka ühikringjoone puhul punktides, kus ringjoon läbib x- või y-telge. Nende erinevate äärmuslike tipunurkade vahepealne, nö keskmine olukord on siis, kui koonuse tipunurk on 90 kraadi. Sellise koonuse külgpindala saab ringi sektorist, mille kesknurk on √2π (ruutjuur 2-st korda pii) radiaani.

Koonus vektorruumis[muuda | muuda lähteteksti]

Koonuse all mõistetakse ka reaalse vektorruumi alamhulka K, mis koos punktiga xK sisaldab c>0 korral ka kõik punktid kujul cx.[1]

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)