Pilootlaine teooria

Pilootlaine teooria, tuntud ka kui Bohmi mehaanika, on üks mitmetest (mitterelativistliku) kvantmehaanika tõlgendustest, mille esitas Louis de Broglie 1927 ja mille taasavastas David Bohm 1952 .

Teooria väidab, et nii osake kui ka laine eksisteerivad korraga ning osakesel on olemas pilootlaine, mis määrab osakese käitumise . Sellega kaob laine-osakese duaalsus.

Bohmi mehaanikas kirjeldab osakeste süsteemi osaliselt Schrödingeri võrrandist tuletatud lainefunktsioon, mis annab vaid süsteemi osalise kirjelduse. Ning teisalt täiendab kirjeldust osakeste tegelike asukohtade kirjeldamine “juhtvõrrandi” järgi, mis väljendab osakeste kiirusi lainefunktsioonina. Seega pilootlaine teooria on deterministlik, mida juhib lainefunktsioon. Kui selle teooria alusel osake saadetakse kahe pilu seadmesse, määrab osakese fotoplaadile jõudmise asukoha ja osakese poolt läbitava pilu selle algne positsioon ja lainefunktsioon. Osake läbib ühe piludest, kuid osakeselaine, mida kirjeldab lainefunktsioon, läheb läbi mõlema pilu, luues interferentsimustri.

Pilootlaine teooria on üks paljudest tõlgendustest kvantmehaanikas. Erinevalt näiteks Kopenhaageni tõlgendusest, millel mõõtmine on pöördumatu, või paljude-maailmade tõlgendustest, kus mõõtmine tekitab uue universumi, lisab pilootlaine teooria täiendava komponendina pilootlaine.

Ülevaade

Pilootlaine teooria

Pilootlaine teooria on mittelokaalne teooria, mis hõlmab peidetud muutujaid. Pilootlaine teooria omab realismi kontseptsiooni – esineb objektiivne reaalsus, mis ei sõltu vaatlejast ehk selle teooria kohaselt eksisteerivad sündmused vaatlejast sõltumatult. Teoorial on ka determinismi aspekt ehk sündmused on ettemääratud.

Pilootlaine teoorias peetakse osakeste asukohta peidetud muutujateks. Need on defineeritud omadused, mis tekivad koos lainefunktsiooniga. Asukohamuutujate täpne väärtus ei ole vaatlejale teada, sest iga mõõtmine tekitab häirituse. Osakeste positsioon on lainefunktsioonist sõltumatu ja neil on oma dünaamiline liikumine. Vaatlejat ennast ei defineerita tema aatomite lainefunktsiooni abil, vaid aatomite positsiooni abil. Seega vaatleja näeb esemete positsioone, mitte nende lainefunktsioone.

Osakeste hulgal on assotsieerunud mateerialaine, mis tekib Schrödingeri võrrandi alusel. Iga osake järgib deterministlikku trajektoori, mida juhib lainefunktsioon. Ühiselt osakeste tihedus vastab lainefunktsiooni suurusele. Lainefunktsioon eksisteerib eraldiseisvana osakesest ega ole sellest mõjutatud. Seega saab lainefunktsioon eksisteerida ka tühja laine funktsioonina.

Pilootlaine teooria on mittelokaalne. Mittelokaalsuse puhul osakeste käitumine ei sõltu vaid osakeste otsesest ümbrusest, vaid ka kaugemate osakeste asukohtadest, juhul kui süsteemi lainefunktsioon on kvantpõimitud ehk see ei koosne üksikute osakeste lainefunktsioonide korrutisest . Seega Bohmi mehaanika vastab Belli teoreemile, mis kinnitab mittelokaalsuse esinemist.

Bohmi mehaanika

Bohmi mehaanika on sama teooria, kuid rõhk on asetatud osakeste liikumist juhtiva vooluhulga mõistele. Vooluhulk on määratud kvanttasakaalu hüpoteesi alusel, mis ütleb, et tõenäosus järgib Borni reeglit. De Borglie-Bohmi teoorias on põhifookuseks Langrangiani ja Hamilton-Jacobi võrrandid, seevastu Bohmi mehaanika peab esmaseks järjepidevusvõrrandit ja selle ikooniks on juhtvõrrand. Matemaatiliselt on Bohmi mehaanika ja de Broglie-Bohmi teooria samaväärsed, kuna kehtib Hamiltoni-Jacobi formuleering, mis kehtib spinnita osakeste korral.

Tühja laine funktsioon

Lucien Hardy ja John Stewart Bell on rõhutanud, et de Broglie-Bohmi kvantmehhaanilises tõlgenduses saab eksisteerida nähtus, mida nimetatakse tühjadeks laineteks. Tühjad laineid on ajas ja ruumis levivad lainefunktsioonid, kuid ei kanna energiat ega impulssi. Albert Einstein nimetas sama kontseptsiooni „kummituslaineteks“. Tühja laine funktsiooni mõiste on vastuoluline, näiteks paljude maailmade tõlgenduses ei ole tühja laine funktsiooni vajadust.

Hüdrodünaamiline kvantanaloog

Hüdrodünaamiline kvantanaloog pilootlaine tõlgendusele oleks vedelikutilga hüplemine vibreerival veevannil. Vedelikutilk „kõnnib“ pinnal ehk ei hüple statsionaarses positsioonis, kuid võib liikuda sirgjooneliselt või kaootiliselt. Kui tilk interakteerub veepinnaga, tekitab see laine. Kui pinnakiirendus on piisavalt suur, ei lagune kokkupõrkel tekkivad lained kohe, deformeerides pinda sel viisil, et stabiliseerivatest jõududest ei piisa tilga paigal hoidmiseks. Seetõttu hakkab tilk “kõndima”. Perioodi jooksul moodustub muster.

Kahe pilu katse

Kahe pilu katse demonstreerib laine-osakese duaalsust ning kahe pilu katset kasutatakse sageli illustreerimaks erinevusi ning sarnasusi mitmete kvantmehhaanika tõlgenduste vahel.

Katses juhitakse osakesi läbi barjääris oleva kahe pilu. Pilusid läbinud osakesi detekteerib ekraan pilude taga. Kui valgusel oleks osakese omadused, tekiks ekraanile pilude projektsioon. Kuid pärast pilude läbimist tekib ekraanile interferentsipilt, mis viitab, et valgusel on laine omadused, kuna valguslained interfereerusid üksteisega, luues heledamad ja tumedamad alad ekraanile. Samal ajal koosneb interferentsimuster varieeruva tihedusega esinevatest täpikestest. Katsetulemus illustreerib seega osakestel olevat valguse omadusi interferentsi pildi tekkimise näol, kui ka osakeste omadusi, mida tõestavad täpikesed ekraanil.

Modifitseeritud eksperimendi korral, kui üks pilu on suletud, ei teki interferentsimustrit, mille alusel saame järeldada, et mõlema pilu olemasolek mõjutab tulemusi.

Kui lisada kahe pilu katsele minimaalselt invasiivne detektor tuvastamaks, millise pilu osake läbis, kaob samuti interferentsimuster (“which-way experiment”). Interferentsimustri kadumine on seotud Bohmi mehaanikaga – läbitava pilu tuvastamine sisaldab endas interaktsiooni teise süsteemiga, seega uuritav süsteem ei saa olla kinnine süsteem, vaid suurema kinnise süsteemi alasüsteem. Sel juhul tekib lainefunktsiooni kollaps.

Kopenhaageni tõlgendus kvantmehaanikas väidab, et kui puudub detektor või mõõteseade pilude juures, on ka osakeste asukoht määramatu. Kuid detektori interaktsioon pilude juures osakesega põhjustab lainefunktsiooni kollapsi, mõõtmise tulemusena määratakse osakese asukoht, misjärel kaob osakese superpositsioon ja interferentsimustrit ei teki.

Pilootlaineteooria annab alternatiivse seletuse osakeste käitumisele interferentsikatses. De Broglie-Bohmi teooria väidab, et osakesed liiguvad pilootlaine juhtimisel selgelt defineeritud trajektooridel ja osakeste kiirused määrab lainefunktsioon. Osake ise läbib täpselt ühe pilu, kuid osakese pilootlaine, mis osakest juhib, läbib mõlemad pilud. Osakese lõpp-positsioon detektorekraanil ning pilu, mille osake läbis, on määratud osakese algpositsiooniga. Algpositsioon ei ole teada ega kontrollitav, seega tundub detektsioonimuster olevat juhuslik.

Bohm pakkus 1952 välja, et lainefunktsioon konstrueerib kvantpotentsiaali, mis annab osakeste trajektooridele voo läbi kahe pilu. Bohm kirjeldas, et osake omab lainefunktsiooni, mis läbib mõlemad pilud. Seesama lainefunktsioon tekitab interferentsi iseendaga. Lainefunktsioon juhib osakese kvantpotentsiaali abil piirkonda, kus interferents on konstruktiivne ning mööda piirkonnast, kus interferents on destruktiivne. Seetõttu tekib interferentsimuster detektorekraanile.

Bohmi trajektoorid

De Broglie-Bohmi teooria kohaselt osakeste trajektoorid kahe pilu katses.

De Broglie-Bohmi teooria korral on osake igal ajal esindatud lainefunktsiooni ja massikeskme asukohaga. Lähenemine erineb standardtõlgendusest ja sellele saab omistada liitreaalsuse omadused.

Topeltpilu katse numbriline simulatsioon elektronidega. Joonis vasakul: elektronkiire intensiivsuse areng piludest väljudes kuni detektor-ekraanini 10 cm pärast pilusid (vasakult paremale). Mida intensiivsem, seda helesinisem värvus. Keskmine joonis: vaadeldavate elektronide mõjud detekteerival ekraanil. Joonis paremal: elektronide intensiivsus ekraanil kaugvälja difraktsioonina. Arvulised andmed Claus Jönnsoni katsest (1961). Footonid, aatomid ja molekulid käituvad samamoodi.

Ajalugu

Juba enne kvantmehhaanika avastamist, püüdis Einstein seletada footonite liikumist juhituna kuidagi elektromagnetvälja poolt (1927), kuid ta võttis oma töö enne avaldamist tagasi. Einstein nimetas seda suunavaks väljaks . Kuigi arusaam elektromagnetväljast kui juhtivast väljast osutus problemaatiliseks, arvestati siiski võimalusega, et elektronide süsteemi puhul võib lainefunktsioon mängida juhtvälja rolli ehk eksisteerida pilootlaine. Seda uuris Max Born 1926.

Oma väitekirjas esitas Louis de Broglie pilootlaine teooria varajased tulemused 1924. aastal seotult aatomorbitaalidega, millel lained on statsionaarsed. Kui Schrödinger arendas 1926 oma mitterelativistliku lainevõrrandi ehk Schrödingeri võrrandi, lõi Louis de Broglie selle kaasabil Bohmi mehaanika. 1927 toimus otsustav Solvay konverents, kus arutati parasjagu asetleidvat uurimistööd kvantteooria valdkonnas. Louis de Broglie esitas oma pilootlaine teooria 1927 Solvay konverentsil pärast koostööd Schrödingeriga, kes oma lainefunktsiooni arendas de Broglie teooria jaoks. Wolfgang Pauli juhtis pärast ettekannet tähelepanu asjaolule, et pilootlaine teooria ei sobi kokku poolklassikalise tehnikaga, mida Fermi oli varem mitteelastse hajumise puhul kasutanud. De Broglie andis korrektse vastuväite, miks Pauli printsiibi puhul ei saa tehnikat laiendada, kuid lõpuks veendi de Broglied teooriast loobuma kriitika tõttu.

De Broglie teooria kehtib mitmetele spinnita osakestele, kuid polnud adekvaatset mõõtmisteooriat, kuna keegi ei mõistnud dekoherentsi tol ajal. Lisaks avaldas John von Neumann 1932 artikli, mis arvatavasti tõestas, et peidetud muutujatega teooria on võimatu. Grete Hermann avaldas 1935 kriitika von Neumanni peidetud muutujate teooria mittevõimalikkuse kohta, kuid siiski tema tulemusi ei märgatud.. Selle tõttu De Broglie teooria jäi kaheks aastakümneks peitu. Alles John Stewart Bell 1966 avastas Hermanni töö.

1952 taasavastas de Broglie pilootlaine teooria David Bohm. Bohm arendas teooriat edasi ja tänapäeval tunneme seda de Broglie-Bohm teooriana. John Bell avastas Grete Hermanni töö 1987 . Nii näidati füüsikutele, et Pauli ja von Neumanni vastuväited tõestasid vaid, et pilootlaine teoorial ei ole lokaalsust.

Yves Couder oma töörühmaga (2006) teatas makroskoopilisest pilootlaine süsteemist „kõndivate tilkade“ näol. See süsteem demonstreerib pilootlaine käitumist, seega on see ka mikroskoopiline nähtus.

Matemaatilised alused

Schrödingeri võrrandist tuletamine

Pilootlaine teooria baseerib Hamilton-Jacobi dünaamikal, mitte Lagrangiani või Hamiltoni mehaanikal. Kasutades Hamilton-Jacobi võrrandit:

$H\left(\,{\vec {x}}\,,\;{\vec {\nabla }}_{\!x}\,S\,,\;t\,\right)+{\partial S \over \partial t}\left(\,{\vec {x}},\,t\,\right)=0$

On võimalik tuletada Schrödingeri võrrand: Vaatleme klassikalist osakest, mille asukoht ei ole kindlalt teada. Tõenäosustihedus $\rho ({\vec {x}},t)$ on teada. Tõenäosus tuleb säilitada ehk $\int \rho \,\mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}=1$ iga $t$ puhul. Seega peab see rahuldama järjepidevuse võrrandit

${\frac {\,\partial \rho \,}{\partial t}}=-{\vec {\nabla }}\cdot (\rho \,{\vec {v}})\qquad \qquad (1)$

kus $\,{\vec {v}}({\vec {x}},t)\,$ on osakese kiirus.

Hamiltoni-Jacobi klassikalise mehaanika võrrandis on kiirus antud $\;{\vec {v}}({\vec {x}},t)={\frac {1}{\,m\,}}\,{\vec {\nabla }}_{\!x}S({\vec {x}},\,t)\;$, kus $\,S({\vec {x}},t)\,$ on lahend Hamilton-Jacobi võrrandile

$-{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\;\left|\,\nabla S\,\right|^{2}\,}{2m}}+{\tilde {V}}\qquad \qquad (2)$

Võimalik on $\,(1)\,$ ja $\,(2)\,$ kombineerida ühte kompleksvõrrandisse, võttes kasutusele kompleksfunktsiooni $\;\psi ={\sqrt {\rho \,}}\,e^{\frac {\,i\,S\,}{\hbar }}\;,$, seejärel kaks võrrandit vastavad võrrandile

$i\,\hbar \,{\frac {\,\partial \psi \,}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\tilde {V}}-Q\right)\psi \quad$

koos

$\;Q=-{\frac {\;\hbar ^{2}\,}{\,2m\,}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho \,}}}{\sqrt {\rho \,}}}~.$

Ajast sõltuva Schrödingeri võrrandi saame, kui alustame $\;{\tilde {V}}=V+Q\;,$, tavaline potentsiaal ning lisakvantpotentsiaal $Q$. Kvantpotentsiaal on kvantjõu potentsiaal, mis on proportsionaalne (lähedane) lainefunktsiooni amplituudi kõverusega. See potentsiaal on sama, mis esineb Madelungi võrrandites, mis on klassikaline analoog Schrödingeri võrrandile.