Logaritm

Allikas: Vikipeedia
Graafik, mis kujutab logaritmi alusel 2: y=log2x

Arv x on arvu b logaritm alusel a, kui b = a^x ehk arv x on astendaja (eksponent), millega arvu a astendades on tulemuseks arv b ehk

\log_a{b} = x \, \iff \, b = a^x \ .

Kui a ja b on positiivsed reaalarvud, siis on logab reaalarv. Aluse a väärtus peab olema kas 0<a<1 või a>1; tavaliselt kasutatakse alustena arve 10, e või 2. Logaritmi alusel e nimetatakse naturaallogaritmiks. Logaritmid on defineeritud reaalarvudele ja kompleksarvudele. Naturaallogaritmi pöördfunktsioon on eksponentfunktsioon ehk eksponentsiaalfunktsioon.


Logaritmi omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

 \log_a{1} = 0 \ , \quad \text{ sest }\quad a^0 = 1 \ .
 \log_a{a} = 1 \ , \quad \text{ sest }\quad a^1 = a \ .

loga0 ei ole määratud kuna pole olemas sellist arvu x , mille puhul a^x = 0. Logaritmfunktsiooni f(x)=log_a{x} graafikul on vertikaalne asümptoot x=0.

Logaritm korrutisest ja jagatisest[muuda | redigeeri lähteteksti]

Logaritmi tähtsamaid omadusi on

 \log_a{bc}=\log_a{b}+\log_a{c}\ ,\quad \text{ sest }\quad a^m \times a^n = a^{m+n} \ , kui b = a^m ja c = a^n .

Samuti

 \log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{b}-\log_a{c}\ ,\quad \text{ sest }\quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \ , kui b = a^m ja c = a^n .

Logaritm astmest[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tähtis omadus on ka astendamise taandumine korrutamiseks. Logaritmi definitsiooni kohaselt on logaritm arvust b alusel a arv, millega arvu a astendades on tulemuseks arv b:

 b = a^{\log_a{b}} \ .

Astendades võrrandi mõlemad pooled arvuga n :

 b^n = \left(a^{\log_a{b}}\right)^n = a^{n \log_a{b}} \ ,

ja võttes logaritmid, on tulemuseks

 \log_a \left(b^n \right) = n \log_a{b} \ .

Logaritmi aluse vahetamine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kalkulaatoriga töötamisel on kasulik teada, et peale olemasolevate alustega logaritmfunktsioonide (tavaliselt ln x ja log x), saab leida logaritmi ka muudel alustel, kasutades omadust

\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}.

Näiteks \log_2{5} = \frac{\log_{10}5}{\log_{10}2}.

See tuleneb sellest, et logaritmi definitsiooni kohaselt

b = a^x \, \iff \, x = \log_a{b}\, ,

kuid x saab leida ka kasutades alust c :

 \log_c{b} = \log_c{a^x} = x \log_c{a} \iff \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}} = x

kus a ≠ 1, sest logc 1 = 0. Iga arv astmes 0 on 1.

Logaritmi rakendused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Mõned logaritmi praktilised rakendused.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]