Eksponentfunktsioon

Allikas: Vikipeedia
Täienda Artikkel vajab täiendamist, et anda teemast piisavat ülevaadet.
Märkuse lisamise konkreetseid põhjusi vaata artikli muudatuste ajaloost või artikli arutelust.

Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul

 \mathrm{Exp}(z) = e^z  \, ,

kus e on Euleri arv. Eksponentfunktsioon on naturaallogaritmi pöördfunktsioon.

Eksponentfunktsiooniks nimetatakse üldisemalt ka funktsiooni[1]

 c a^z \, ,

kus a on positiivne konstant ja c on nullist erinev kordaja.

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu z ja w kompleksarvud

  • e^{z + w} = e^z e^w\, ,
  • e^0 = 1\, ,
  • e^z \ne 0\, ,
  • {d \over dz} e^z = e^z \, ,
  • \,(e^z)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z}\, .

Juhul, kui z ja w on reaalarvud, kehtib

  • \,(e^z)^w = e^{zw}\, .

Fromaalne definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Eksponentfunktsiooni saab tervel komplekstasandil defineerida astmereana

 e^z = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!}.

Seda astmerida nimetatakse eksponentreaks. Seda rida saab kasutada eksponentfunktsiooni üldistamiseks juhule, kus z on ruutmaatriks või üldisemalt mõni Banachi algebra element.

Samaväärselt võib eksponentfunktsiooni defineerida

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.
x = \int_1^y {dt \over t}.

lahendina

\,{d \over dx} y(x) = y(x), \quad y(0) = 1

lahendina.

Seos trigonomeetriliste funktsioonidega[muuda | redigeeri lähteteksti]

Euleri valem

e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x), \,

seob eksponentfunktsiooni trigonomeetriliste funktsioonidega.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.