Diagonaalne maatriks

Allikas: Vikipeedia

Diagonaalne maatriks on ruutmaatriks, milles võivad nullist (või nullelemendist) erineda vaid peadiagonaalil paiknevad elemendid.[1]

n-järku diagonaalset maatriksit tähistatakse diag(a1,...,an), kus a1,...,an tähistavad peadiagonaali elemente. Näiteks


\text{diag}(1,7,-2) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 7 & 0\\
0 & 0 & -2\\
\end{pmatrix}

Diagonaalne maatriks on sümmeetriline maatriks.

Kõik ühikmaatriksid In, ruut-nullmaatriksid ja 1-järku ruutmaatriksid on diagonaalsed.

Diagonaalset maatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed, nimetatakse skalaarmaatriksiks. Iga skalaarmaatriks on esitav kujul λIn, ning selle maatriksiga korrutamine on identne skalaari λ-ga korrutamisega.

Tehted diagonaalsete maatriksitega[muuda | redigeeri lähteteksti]

Paljud tehted diagonaalsete maatriksitega on tunduvalt lihtsamad kui üldiste maatriksitega. Liitmine ja korrutamine toimub vastavalt kui

diag(a1,...,an) + diag(b1,...,bn) = diag(a1+b1,...,an+bn)
diag(a1,...,an) · diag(b1,...,bn) = diag(a1b1,...,anbn).

Diagonaalne maatriks diag(a1,...,an) on regulaarne parajasti siis, kui kõik arvud a1,...,an erinevad nullist. Sel juhul saab leida pöördmaatriksi

diag(a1,...,an)-1 = diag(a1-1,...,an-1).

Diagonaalse maatriksi determinant on peadiagonaali elementide korrutis

det(diag(a1,a2,...,an)) = a1a2...an.

Rakendused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Maatriksit A, mis on sarnane diagonaalse maatriksiga D (st leidub maatriks X, et A = XDX-1), nimetatakse diagonaliseeritavaks. Kui maatriksi A diagonaalne kuju D on teada, lihtsustuvad paljud arvutused tunduvalt.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)