Lihtharmooniline võnkumine: erinevus redaktsioonide vahel
Resümee puudub |
PResümee puudub |
||
1. rida: | 1. rida: | ||
{{liita|Lihtne harmooniline liikumine}} |
{{liita|Lihtne harmooniline liikumine}} |
||
[[Fail:Simple harmonic motion animation 1.gif|pisi|333x333px|Lihtharmooniline liikumine: ühtlaselt pöörleva punkti projektsioon teljele]] |
[[Fail:Simple harmonic motion animation 1.gif|pisi|333x333px|Lihtharmooniline liikumine: ühtlaselt pöörleva punkti projektsioon teljele]] |
||
'''Lihtharmooniline võnkumine''' ehk '''lihtharmooniline liikumine''' on [[mehaanika]]s ja [[füüsika]]s süsteemi perioodiline võnkumine või liikumine, kus ainus mõjuv taastav [[jõud]] on võrdeline [[Siire (mehaanika)|siirdega]] tasakaaluasendist. Taastav jõud on jõud, mis mõjub vastassuunaliselt siirde suunaga. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena nimetatakse |
'''Lihtharmooniline võnkumine''' ehk '''lihtharmooniline liikumine''' on [[mehaanika]]s ja [[füüsika]]s süsteemi perioodiline võnkumine või liikumine, kus ainus mõjuv taastav [[jõud]] on võrdeline [[Siire (mehaanika)|siirdega]] tasakaaluasendist. Taastav jõud on jõud, mis mõjub vastassuunaliselt siirde suunaga. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena, nimetatakse lihtharmooniliseks ostsillaatoriks (ingl k - ''simple harmonic oscillator''). Lihtharmoonilist võnkumist on nimetatud ka sumbuvuseta [[Vabavõnkumine|vabavõnkumiseks]]. |
||
Lihtharmooniline liikumine võib olla [[Matemaatiline mudel|matemaatiliseks mudeliks]] paljude erinevatele liikumiste kirjeldamisel. Lihtharmoonilise liikumise klassikaliseks näiteks peetakse vedru küljes oleva massi liikumist (juhul, kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub [[Hooke'i seadus]]ele ja sumbuvust ei arvestata). Vastav massi võnkumine/liikumine on ajas [[sinusoid]]aalne ja toimub ühel kindlal [[Sagedus|sagesusel]]. Teine klassikaline näide |
Lihtharmooniline liikumine võib olla [[Matemaatiline mudel|matemaatiliseks mudeliks]] paljude erinevatele liikumiste kirjeldamisel. Lihtharmoonilise liikumise klassikaliseks näiteks peetakse vedru küljes oleva massi liikumist (juhul, kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub [[Hooke'i seadus]]ele ja sumbuvust ei arvestata). Vastav massi võnkumine/liikumine on ajas [[sinusoid]]aalne ja toimub ühel kindlal [[Sagedus|sagesusel]]. Teine klassikaline näide lihtharmoonilise võnkumise kohta on [[Matemaatiline pendel|matemaatilise pendli]] võnkumine, kui sumbuvust ei arvestata. Seejuures on matemaatilise pendli võnkumine lihtharmooniline vaid võnkumistel väikese amplituudiga. |
||
== Definitsioon == |
== Definitsioon == |
||
17. rida: | 17. rida: | ||
== Dünaamika == |
== Dünaamika == |
||
Vastavalt definitsioonile kirjeldab |
Vastavalt definitsioonile kirjeldab ühedimensioonilist lihtharmoonilist liikumist konstantsete kordajatega teist järku harilik lineaarne diferentsiaalvõrrand. Võttes aluseks massi võnkumise lineaarse vedru küljes on taastavaks jõuks vastavalt [[Hooke'i seadus]]ele ''F = -kx'' ehk võrdelisuse saab kirjutada võrdusena |
||
:<math> m\ddot x = -kx </math> |
:<math> m\ddot x = -kx </math> |
||
kus <math> m</math> on võnkuva keha mass, <math>x</math> on siire tasakaaluasendist ja |
kus <math> m</math> on võnkuva keha mass, <math>x</math> on siire tasakaaluasendist ja <math>k</math> on vedru jäikus. Jagades mõlemat poolt massiga <math> m</math>kasutades tuletise teist kirjaviisi (<math> \ddot x</math> teine kirjaviis on <math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}</math>) saame: |
||
:<math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{k}{m}x,</math> |
:<math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{k}{m}x,</math> |
||
29. rida: | 29. rida: | ||
: <math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right),</math> |
: <math> x(t) = c_1\cos\left(\omega t\right) + c_2\sin\left(\omega t\right),</math> |
||
kus konstandid |
kus konstandid <math> {c_1}</math> ja <chem>{c_2}</chem> määravad algtingimused nagu algsiire <math>c_1 = x_1</math> ja algkiirus <math>c_2 = v_1/\omega</math>. Lahendit saab kirjutada ka kujul: |
||
:<math> x(t) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right),</math> |
:<math> x(t) = A\cos\left(\omega t - \varphi\right),</math> |
||
39. rida: | 39. rida: | ||
Kõikidel antud konstantidel on liikumise kirjeldamise jaoks oluline sisu: <math> A</math> on [[amplituud]] (maksimaalne siire tasakaaluasendist), <math> \omega</math> on [[ringsagedus]] ja <math> \varphi</math> [[algfaas]]. |
Kõikidel antud konstantidel on liikumise kirjeldamise jaoks oluline sisu: <math> A</math> on [[amplituud]] (maksimaalne siire tasakaaluasendist), <math> \omega</math> on [[ringsagedus]] ja <math> \varphi</math> [[algfaas]]. |
||
Kasutades matemaatilist analüüsi võime leida massi kiiruse ja kiirenduse |
Kasutades matemaatilist analüüsi, võime leida massi kiiruse ja kiirenduse ajamuutlikkuse: |
||
: <math> v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi),</math> |
: <math> v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = - A\omega \sin(\omega t-\varphi),</math> |
||
47. rida: | 47. rida: | ||
: <math> {\omega} \sqrt {A^2 - x^2} </math> |
: <math> {\omega} \sqrt {A^2 - x^2} </math> |
||
Maksimaalne kiirus: ''v=ωA'' (esineb |
Maksimaalne kiirus: ''v=ωA'' (esineb liikumisel läbi tasakaaluasendi) |
||
: <math> a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi).</math> |
: <math> a(t) = \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - A \omega^2 \cos( \omega t-\varphi).</math> |
||
53. rida: | 53. rida: | ||
Maksimaalne kiirendus: ''Aω''<sup>2</sup> (esineb maksimaalsel kaugusel tasakaaluasendist) |
Maksimaalne kiirendus: ''Aω''<sup>2</sup> (esineb maksimaalsel kaugusel tasakaaluasendist) |
||
Definitsiooni järgi on lihtharmoonilisel liikumises oleva massi ''m'' |
Definitsiooni järgi on lihtharmoonilisel liikumises oleva massi ''m'' kiirendus võrdeline tema siirdega. |
||
: <math> a(x) = -\omega^2 x.</math> |
: <math> a(x) = -\omega^2 x.</math> |
||
65. rida: | 65. rida: | ||
: <math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},</math> |
: <math>f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},</math> |
||
ja kuna |
ja kuna ''T'' = 1/''f'', kus ''T'' periood, |
||
: <math>T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.</math> |
: <math>T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.</math> |
||
72. rida: | 72. rida: | ||
== Energia == |
== Energia == |
||
Asendades |
Asendades ''ω''<sup>2</sup> suurusega ''k/m'', avaldub süsteemi [[kineetiline energia]] ''K'' ajahetkel ''t'' vastavalt |
||
: <math> K(t) = \tfrac12 mv^2(t) = \tfrac12 m\omega^2A^2\sin^2(\omega t - \varphi) = \tfrac12 kA^2 \sin^2(\omega t - \varphi),</math> |
: <math> K(t) = \tfrac12 mv^2(t) = \tfrac12 m\omega^2A^2\sin^2(\omega t - \varphi) = \tfrac12 kA^2 \sin^2(\omega t - \varphi),</math> |
||
86. rida: | 86. rida: | ||
== Näited == |
== Näited == |
||
[[Fail:Animated-mass-spring.gif|paremal|Sumbuvuseta vedru ja massi süsteemi liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena.|pisi|200x200px]] |
[[Fail:Animated-mass-spring.gif|paremal|Sumbuvuseta vedru ja massi süsteemi liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena.|pisi|200x200px]] |
||
Järgnevalt on kirjeldatud füüsikalisi süsteeme, mis on lihtharmooniliste ostsillaatorite näited. |
|||
Järgnevad on füüsikalised süsteemid, mis on näideteks lihtharmoonilistest ostsillaatoritest. |
|||
=== Mass vedru otsas === |
=== Mass vedru otsas === |
||
96. rida: | 96. rida: | ||
=== Ühtlane pöörlemine === |
=== Ühtlane pöörlemine === |
||
Lihtharmooniliselt liigub [[Ühtlane ringjooneline liikumine|ühtlaselt ringjooneliselt liikuva]] ([[Nurkkiirendus| |
Lihtharmooniliselt liigub [[Ühtlane ringjooneline liikumine|ühtlaselt ringjooneliselt liikuva]] ([[Nurkkiirendus|nurkkiirenduseta]] pöörleva) keha mõne punkti projektsioon. Kui keha punkt pöörleb ''xy''-tasandil nurkkiirusega ''ω'' pöörlemistsentrist kaugusel ''r'', siis punkti projektsioon liigub koordinaattelgedel lihtharmooniliselt. Seejuures on punkti liikumise amplituud võrdne kaugusega pöörlemistsentrist ''r'' ja võnkumise ringsagedus on võrdne pöörlemise nurkkiirusega ''ω''. Igal ajahetkel on punkti projektsioon ''x''-teljele leitav vastavalt: |
||
:<math> x = r\cos (\omega t).</math> |
:<math> x = r\cos (\omega t).</math> |
||
116. rida: | 116. rida: | ||
: <math>-m g l \sin\theta=I \ddot{\theta},</math> |
: <math>-m g l \sin\theta=I \ddot{\theta},</math> |
||
kus, ''m'' on pendli mass, <math>g</math> on [[raskuskiirendus]], ''l'' on pendli pikkus, <math>I</math>on [[ |
kus, ''m'' on pendli mass, <math>g</math> on [[raskuskiirendus]], ''l'' on pendli pikkus, <math>I</math>on [[inertsimoment]], ''<math>\theta</math>'' on pendli niidi nurk vertikaalist ja <math>\ddot{\theta}</math>on antud nurga muutuse kiirendus ehk nurkkiirendus. Väikese amplituudiga võnkumiste korral on ka maksimaalne nurk tasakaaluasendist nullilähedaste väärtustega. Nullilähedaste nurkade korral kehtib seos ''sin ''θ ''≈'' θ ja diferentsiaalvõrrand saab kuju: |
||
<math>-m g l \theta=I \ddot{\theta},</math> |
<math>-m g l \theta=I \ddot{\theta},</math> |
||
mis teeb |
mis teeb nurkkiirenduse <math>\ddot{\theta}</math> võrdeliseks nurga suurusega ''<math>\theta</math>'' ja seega viimane diferentsiaalvõrrand rahuldab lihtharmoonilise liikumise definitsiooni. |
||
Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Pikkusega ''l'' pendli võnkeperioodi annab valem: |
Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Pikkusega ''l'' pendli võnkeperioodi annab valem: |
||
126. rida: | 126. rida: | ||
:<math> T = 2 \pi \sqrt\frac{l}{g}</math>. |
:<math> T = 2 \pi \sqrt\frac{l}{g}</math>. |
||
Valemist on näha et pendli võnkeperiood ei sõltu võnkeamplituudist ja pendli massist. Võnkeperiood sõltub raskuskiirendusest |
Valemist on näha et pendli võnkeperiood ei sõltu võnkeamplituudist ja pendli massist. Võnkeperiood sõltub raskuskiirendusest <math>g</math> ja pendli pikkusest, mistõttu sama pikkusega pendlil on [[Kuu]]l pikem võnkeperiood kui [[Maa]]l, kuna raskuskiirendus Kuul on väiksem. Kuna raskuskiirenduse <math>g</math> väärtus on Maa eri paigus erineb, on sama pikkusega pendli võnkeperiood samuti erinev. |
||
== Vaata ka == |
== Vaata ka == |
||
* [[Harmooniline võnkumine]] |
* [[Harmooniline võnkumine]] |
||
* [[Võnkumine]] |
* [[Võnkumine]] |
Redaktsioon: 19. september 2019, kell 14:40
See artikkel on esitatud liitmiseks artikliga Lihtne harmooniline liikumine. Lisateavet artikli arutelust |
Lihtharmooniline võnkumine ehk lihtharmooniline liikumine on mehaanikas ja füüsikas süsteemi perioodiline võnkumine või liikumine, kus ainus mõjuv taastav jõud on võrdeline siirdega tasakaaluasendist. Taastav jõud on jõud, mis mõjub vastassuunaliselt siirde suunaga. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena, nimetatakse lihtharmooniliseks ostsillaatoriks (ingl k - simple harmonic oscillator). Lihtharmoonilist võnkumist on nimetatud ka sumbuvuseta vabavõnkumiseks.
Lihtharmooniline liikumine võib olla matemaatiliseks mudeliks paljude erinevatele liikumiste kirjeldamisel. Lihtharmoonilise liikumise klassikaliseks näiteks peetakse vedru küljes oleva massi liikumist (juhul, kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub Hooke'i seadusele ja sumbuvust ei arvestata). Vastav massi võnkumine/liikumine on ajas sinusoidaalne ja toimub ühel kindlal sagesusel. Teine klassikaline näide lihtharmoonilise võnkumise kohta on matemaatilise pendli võnkumine, kui sumbuvust ei arvestata. Seejuures on matemaatilise pendli võnkumine lihtharmooniline vaid võnkumistel väikese amplituudiga.
Definitsioon
Lihtharmooniline on liikumine/võnkumine, milles taastav jõud on võrdeline siirdega tasakaaluasendist. Matemaatiliselt võib lihtharmoonilise võnkumise definitsiooni seega kirja panna järgnevalt:
kus taastav jõud, on siire tasakaaluasendist (miinusmärk on mõeldud rõhutamaks tõsiasja, et tegu on taastava jõuga). Jõud on teatavasti defineeritud, kui massi ja kiirenduse korrutis , seega võib definitsiooni ümber kirjutada kujul
- ,
ehk definitsiooni võib kirja panna ka järgnevalt: lihtharmooniline on iga liikumine, milles siire ja kiirendus on võrdelised ja võrdvastupidise suunaga.
Dünaamika
Vastavalt definitsioonile kirjeldab ühedimensioonilist lihtharmoonilist liikumist konstantsete kordajatega teist järku harilik lineaarne diferentsiaalvõrrand. Võttes aluseks massi võnkumise lineaarse vedru küljes on taastavaks jõuks vastavalt Hooke'i seadusele F = -kx ehk võrdelisuse saab kirjutada võrdusena
kus on võnkuva keha mass, on siire tasakaaluasendist ja on vedru jäikus. Jagades mõlemat poolt massiga kasutades tuletise teist kirjaviisi ( teine kirjaviis on ) saame:
antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidaalne funktsioon kujul
kus konstandid ja määravad algtingimused nagu algsiire ja algkiirus . Lahendit saab kirjutada ka kujul:
kus
Kõikidel antud konstantidel on liikumise kirjeldamise jaoks oluline sisu: on amplituud (maksimaalne siire tasakaaluasendist), on ringsagedus ja algfaas.
Kasutades matemaatilist analüüsi, võime leida massi kiiruse ja kiirenduse ajamuutlikkuse:
Kiirus:
Maksimaalne kiirus: v=ωA (esineb liikumisel läbi tasakaaluasendi)
Maksimaalne kiirendus: Aω2 (esineb maksimaalsel kaugusel tasakaaluasendist)
Definitsiooni järgi on lihtharmoonilisel liikumises oleva massi m kiirendus võrdeline tema siirdega.
kus
kuna ω = 2πf,
ja kuna T = 1/f, kus T periood,
Antud võrrandites on näha, et lihtharmooniline liikumine on isokroonne (periood ja sagedus on amplituudist ja algfaasist sõltumatud).
Energia
Asendades ω2 suurusega k/m, avaldub süsteemi kineetiline energia K ajahetkel t vastavalt
ja potentsiaalne energia
Hõõrde või teiste liikumist takistavate jõudude puudumisel on süsteemi kogu mehaaniline energia ajas muutumatu suurus
Näited
Järgnevalt on kirjeldatud füüsikalisi süsteeme, mis on lihtharmooniliste ostsillaatorite näited.
Mass vedru otsas
Mass m mis on kinnitatud vedru külge jäikusega k liikumine tasakaaluasendi ümber juhul, kui puudub sumbuvus on lihtharmooniline võnkumine. Antud süsteemi võnkeperioodi saab leida valemiga
mis näitab, et võnkeperiood ei sõltu amplituudist ega ka raskuskiirendusest.
Ühtlane pöörlemine
Lihtharmooniliselt liigub ühtlaselt ringjooneliselt liikuva (nurkkiirenduseta pöörleva) keha mõne punkti projektsioon. Kui keha punkt pöörleb xy-tasandil nurkkiirusega ω pöörlemistsentrist kaugusel r, siis punkti projektsioon liigub koordinaattelgedel lihtharmooniliselt. Seejuures on punkti liikumise amplituud võrdne kaugusega pöörlemistsentrist r ja võnkumise ringsagedus on võrdne pöörlemise nurkkiirusega ω. Igal ajahetkel on punkti projektsioon x-teljele leitav vastavalt:
Võttes antud seosest esimese ja teise tuletise aja järgi saame:
viimase saab ümber kirjutada:
ehk ühtlaselt pöörleva keha punkti projektsiooni liikumine vastab lihtharmoonilise liikumise definitsioonile. Kiirendus ja siire on võrdelised.
Matemaatiline pendel
Matemaatilise pendli võnkumisel väikese amplituudiga võib pendli liikumist lugeda lähedaseks lihtharmoonilise võnkumisega. Matemaatilise pendli võnkumist kirjeldab järgnev diferentsiaalvõrrand:
kus, m on pendli mass, on raskuskiirendus, l on pendli pikkus, on inertsimoment, on pendli niidi nurk vertikaalist ja on antud nurga muutuse kiirendus ehk nurkkiirendus. Väikese amplituudiga võnkumiste korral on ka maksimaalne nurk tasakaaluasendist nullilähedaste väärtustega. Nullilähedaste nurkade korral kehtib seos sin θ ≈ θ ja diferentsiaalvõrrand saab kuju:
mis teeb nurkkiirenduse võrdeliseks nurga suurusega ja seega viimane diferentsiaalvõrrand rahuldab lihtharmoonilise liikumise definitsiooni.
Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Pikkusega l pendli võnkeperioodi annab valem:
- .
Valemist on näha et pendli võnkeperiood ei sõltu võnkeamplituudist ja pendli massist. Võnkeperiood sõltub raskuskiirendusest ja pendli pikkusest, mistõttu sama pikkusega pendlil on Kuul pikem võnkeperiood kui Maal, kuna raskuskiirendus Kuul on väiksem. Kuna raskuskiirenduse väärtus on Maa eri paigus erineb, on sama pikkusega pendli võnkeperiood samuti erinev.