Lihtharmooniline võnkumine

Lihtharmooniline liikumine: ühtlaselt pöörleva punkti projektsioon teljele

Lihtharmooniline võnkumine ehk lihtharmooniline liikumine on mehaanikas ja füüsikas süsteemi perioodiline võnkumine või liikumine, kus ainus mõjuv taastav jõud on võrdeline nihkega tasakaaluasendist. Taastav jõud on jõud, mis mõjub vastassuunaliselt nihke suunaga. Süsteemi, mille liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena nimetatakse lihtharmooniliseks ostsillaatoriks (ing. k - simple harmonic oscillator).

Lihtharmooniline liikumine võib olla matemaatiliseks mudeliks paljude erinevatele liikumiste kirjeldamisel. Lihtharmoonilise liikumise klassikaliseks näiteks peetakse vedru küljes oleva massi liikumist (juhul, kui vedru poolt tekitatava taastava jõu suurus allub Hooke'i seadusele ja sumbuvust ei arvestata). Vastav massi võnkumine/liikumine on ajas sinusoidaalne ja toimub ühel kindlal sagesusel. Teine klassikaline lihtharmoonilisest võnkumisest on matemaatilise pendli võnkumine, kui sumbuvust ei arvestata. Seejuures on matemaatilise pendli võnkumine lihtharmooniline vaid väikese amplituudilise võnkumise korral.

Definitsioon

Lihtharmooniline on liikumine/võnkumine, mille taastav jõud on võrdeline nihkega tasakaaluasendist. Matemaatiliselt võib lihtharmoonilise võnkumise definitsiooni seega kirja panna järgnevalt:

${F}\propto {-x},$

kus $F$ taastav jõud, $x$ on nihe tasakaaluasendist (miinusmärk on mõeldud rõhutama tõsiasja, et tegu on taastava jõuga). Jõud on teatavasti defineeritud, kui massi ja kiirenduse korrutis $F=ma\Rightarrow F=m{\ddot {x}}$, seega võib definitsiooni ümber kirjutada kujul

$m{\ddot {x}}\propto -x\Rightarrow {\ddot {x}}\propto -x$,

ehk lihtharmooniline on iga liikumine, mille nihe (koordinaadi muutus ajas) on võrdeline ja võrdvastupidise suunaga kiirenduse (koordinaadi ajamuutuse teise tuletise) suhtes.

Dünaamika

Vastavalt definitsioonile kirjeldab ühedimensionaalset lihtharmoonilist liikumist konstantsete kordajatega teist järku harilik lineaarne diferentsiaalvõrrand. Võttes aluseks massi võnkumise lineaarse vedru küljes on taastavaks jõuks vastavalt Hooke'i seadusele F = -kx ehk võrdelisuse saab kirjutada võrdusena

$m{\ddot {x}}=-kx$

kus $m$ on võnkuva keha mass, $x$ on nihe tasakaaluasendist ja $k$ on vedru jäikus. Jagades mõlemat poolt massiga $m$kasutades tuletise teist kirjaviisi (${\ddot {x}}$teine kirjaviis on ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}$) saame:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x,$

antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidaalne funktsioon kujul

$x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),$

kus konstandid ${c_{1}}$ ja ${\ce {c_{2}}}$ määravad algtingimused. Lahendit saab kirjutada ka kujul:

$x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),$

kus

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},\qquad A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},\qquad \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}}.$

Kõikidel antud konstantidel on liikumise kirjeldamise jaoks oluline sisu: $A$ on amplituud (maksimaalne nihe tasakaaluasendist), $\omega$ on ringsagedus ja $\varphi$ algfaas.

Kasutades matemaatilist analüüsi võime leida massi kiiruse ja kiirenduse ajamuutlikuse:

$v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),$

Kiirus:

${\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}$

Maksimaalne kiirus: v=ωA (esineb liikmisel läbi tasakaaluasendi)

$a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).$

Maksimaalne kiirendus: Aω² (esineb maksimaalsel kaugusel tasakaaluasendist)

Definitsiooni järgi on lihtharmoonilisel liikumises oleva massi m kiirendus võrdeline tema nihkega.

$a(x)=-\omega ^{2}x.$

kus

$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$

kuna ω = 2πf,

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},$

ja kuna T = 1/f, kus T periood,

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.$

Antud võrrandites on näha, et lihtharmooniline liikumine on isokroonne (periood ja sagedus on amplituudist ja algfaasist sõltumatud).

Energia

Asendades ω² suurusega k/m, avaldub süsteemi kineetiline energia K ajahetkel t vastavalt

$K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),$

ja potentsiaalne energia

$U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).$

Hõõrde või teiste liikumist takistavate jõudude puudumisel on süsteemi kogu mehaaniline energia ajas muutumatu suurus ehk konstantne

$E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}.$

Näited

Sumbuvuseta vedru ja massi süsteemi liikumist saab kirjeldada lihtharmoonilise võnkumisena.

Järgnevad on füüsikalised süsteemid, mis on näideteks lihtharmoonilistest ostsillaatoritest.

Mass vedru otsas

Mass m mis on kinnitatud vedru külge jäikusega k liikumine tasakaaluasendi ümber juhul, kui puudub sumbuvus on lihtharmooniline võnkumine. Antud süsteemi võnkeperioodi saab leida valemiga

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}},$

mis näitab, et võnkeperiood ei sõltu amplituudist ega ka raskuskiirendusest.

Ühtlane pöörlemine

Lihtharmooniliselt liigub ühtlaselt pöörleva (nurkiirenduseta) keha mõne punkti projektsioon. Kui keha punkt pöörleb xy-tasandil nurkkiirusega ω pöörlemistsentrist kaugusel r, siis punkti projektsioon liigub koordinaattelgedel lihtharmooniliselt. Seejuures on punkti liikumise amplituud võrdne kaugusega pöörlemistsentrist r ja võnkumise ringsagedus on võrdne pöörlemise nurkkiirusega ω. Igal ajahetkel on punkti projektsioon x-teljele leitav vastavalt:

$x=r\cos(\omega t).$

Võttes antud seosest esimese ja teise tuletise aja järgi saame:

${\dot {x}}=-r\omega \sin(\omega t),\quad {\ddot {x}}=-r\omega ^{2}\cos(\omega t),$

viimase saab ümber kirjutada:

${\ddot {x}}=-\omega ^{2}x$

ehk ühtlaselt pöörleva keha punkti projektsiooni liikumine vastab lihtharmoonilise liikumise definitsioonile. Kiirendus ja nihe on võrdelised.

Matemaatiline pendel

Matemaatilise pendli sumbuvuseta väikese amplituudiga võnkumist kirjeldab lihtharmooniline võnkumine.

Matemaatilise pendli võnkumisel väikese amplituudiga võib pendli liikumist lugeda lähedaseks lihtharmoonilise võnkumisega. Matemaatilise pendli võnkumist kirjeldab järgnev diferentsiaalvõrrand:

$-mgl\sin \theta =I{\ddot {\theta }},$

kus, m on pendli mass, $g$raskuskiirendus, l on pendli pikkus, $I$on inertimoment, $\theta$ on pendli niidi nurk vertikaalist ja ${\ddot {\theta }}$on antud nurga muutuse kiirendus ehk nurkkiirendus. Väikese amplituudiga võnkumiste korral on ka maksimaalne nurk tasakaaluasendist on nullilähedaste väärtustega. Nullilähedaste nurkade korral kehtib seos sin θ ≈ θ ja diferentsiaalvõrrand saab kuju:

$-mgl\theta =I{\ddot {\theta }},$

mis teeb nurkiirenduse ${\ddot {\theta }}$ võrdeliseks nurga suurusega $\theta$ ja seega viimane diferentsiaalvõrrand rahuldab lihtharmoonilise liikumise definitsiooni.

Diferentsiaalvõrrandi järgi saab määrata matemaatilise pendli võnkeperioodi. Pikkusega l pendli võnkeperioodi annab valem:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$.

Valemist on näha et pendli võnkeperiood ei sõltu võnkeamplituudist ja pendli massist. Võnkeperiood sõltub raskuskiirendusest $g$ ja pendli pikkusest, mistõttu sama pikkusega pendlil on Kuul pikem võnkeperiood kui Maal, kuna raskuskiirendus Kuul on väiksem. Kuna raskuskiirenduse $g$ väärtus on Maa eri paigus erineb, on sama pikkusega pendli võnkeperiood samuti erinev.

Vaata ka

• Harmooniline võnkumine
• Võnkumine
• Isokroonsus
• Matemaatiline pendel