Arvtelg: erinevus redaktsioonide vahel
19. rida: | 19. rida: | ||
Arvsirge punktid sageli samastatakse reaalarvudega. Seetõttu saab arvsirget vaadelda sirgena, mille punktid on reaalarvud. Arvsirge on siis [[reaalarvude hulk|kõigi reaalarvude hulk]] <math>R</math> kui [[ruum (matemaatika)|ruum]], nimelt [[ühemõõtmeline eukleidiline ruum]]. Seda ruumi saab vaadelda [[vektorruum]]ina, [[afiinne ruum|afiinse ruumina]], [[meetriline ruum|meetrilise ruumina]], [[topoloogiline ruum|topoloogilise ruumina]], [[mõõdu ruum]]ina või [[lineaarne kontiinuum|lineaarse kontiinuum]]ina. |
Arvsirge punktid sageli samastatakse reaalarvudega. Seetõttu saab arvsirget vaadelda sirgena, mille punktid on reaalarvud. Arvsirge on siis [[reaalarvude hulk|kõigi reaalarvude hulk]] <math>R</math> kui [[ruum (matemaatika)|ruum]], nimelt [[ühemõõtmeline eukleidiline ruum]]. Seda ruumi saab vaadelda [[vektorruum]]ina, [[afiinne ruum|afiinse ruumina]], [[meetriline ruum|meetrilise ruumina]], [[topoloogiline ruum|topoloogilise ruumina]], [[mõõdu ruum]]ina või [[lineaarne kontiinuum|lineaarse kontiinuum]]ina. |
||
Nagu ka reaalarvude hulka, tähistatakse reaalsirget tavaliselt sümboliga <math>R</math> või <math> \mathbb{R} </math>. Mõnikord kasutatakse ka tähist '''R<sup>1</sup>''', et näidata, et tegu on |
Nagu ka reaalarvude hulka, tähistatakse reaalsirget tavaliselt sümboliga <math>R</math> või <math> \mathbb{R} </math>. Mõnikord kasutatakse ka tähist '''R<sup>1</sup>''', et näidata, et tegu on ühemõõtmelise eukleidilise ruumiga. |
||
===Lineaarse kontiinuumina=== |
|||
Reaalsirge on tavalise [[järjestus]]e < suhtes [[lineaarne kontiinuum]]: ta on [[lineaarne järjestus|lineaarselt järjestatud]] ning see järjestus on [[tihe järjestus|tihe]] ja tal on [[supreemumiomadus]]. |
|||
Reaalsirgel ei ole [[maksimaalne element|maksimaalseid]] ega [[minimaalne element|minimaalseid elemente]]. Tal on [[loenduv hulk|loenduv]] [[tihe hulk|tihe]] [[alamhulk]], nimelt [[ratsionaalarvude hulk]]. On tõestatud, et mis tahes lineaarne kontiinuum, millel leidub loenduv tihe alamhulk ja ei leidu maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on [[järjestusisomorfsus|järjestusisomorfne]] reaalsirgega. |
|||
===Meetrilise ruumina=== |
===Meetrilise ruumina=== |
Redaktsioon: 16. juuni 2012, kell 14:11
Arvtelg ehk arvsirge ehk reaalsirge on reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvu null kujutis ja arvu üks kujutis.[1] Sellega on ühtlasi fikseeritud ka kõikide teiste reaalarvude kujutised (punktipaaridele, mille punktide kaugus on võrdne, vastavad reaalarvude paarid, mille arvude vahe absoluutväärtus on võrdne).
Arvsirge konstrueerimine
Arvsirge saamiseks valime kõigepealt algpunkti , mis on arvu 0 kujutis, ning suuna (positiivse suuna), mis vastab arvude kasvamise suunale. Tavaliselt joonestatakse arvsirge horisontaalsena ning suurematele arvudele seatakse vastavusse parempoolsemad punktid. Kui sirge on kujutatud vertikaalsena, siis on suuremate arvude kujutised tavaliselt kõrgemal. Joonisel saab kujutada ainult osa sirgest; tavaliselt joonistatakse sirge katkestuskohale, mille suunas arvud kasvavad, noolepea, mis on suunatud arvude kasvamise suunas.
Mis tahes punktile arvsirgel vastab parajasti üks reaalarv ning ümberpöördult: igale reaalarvule vastab parajasti üks punkt arvteljel, nii et vektor on suunatud positiivses suunas, kui , vastassuunas, kui , ja see punkt on , kui ; ning vektori pikkus on absoluutväärtus . Selle, et igale reaalarvule vastab mingi punkt arvsirgel, tagab pidevuse aksioom tänapäeva geomeetria aksiomaatikas.
Et saada tavaline arvsirge ehk lineaarne arvsirge, kanname sirgele valitud võrdsetel kaugustel negatiivsed vasakule). Sellega on valitud arvsirge skaala (ühiklõik). Joonisel markeeritakse tavaliselt ainult täisarvudele vastavad punktid. Täisarvude vahelised vahemikud täidame ülejäänud reaalarvudega.
Arvsirge näitlikustab ühemõõtmelist eukleidilist ruumi. Arvude järjestusele vastab punktide loomulik järjestus sirgel.
Arvsirge joonise rakendused
Arvsirget kasutatakse sageli kõigi reaalarvude hulga kujutamiseks ja funktsioonide graafikute joonestamiseks. Arvsirge lõikudena kujutatakse intervalle. Arvsirget kasutatakse ka liitmise ja lahutamise õpetamisel, eriti tehete puhul negatiivsete arvudega. Samuti kasutatakse arvsirget võrratussüsteemide lahendamisel ning tehete puhul reaalarvude hulga alamhulkadega.
Arvsirge kui reaalarvude ruum
Arvsirge punktid sageli samastatakse reaalarvudega. Seetõttu saab arvsirget vaadelda sirgena, mille punktid on reaalarvud. Arvsirge on siis kõigi reaalarvude hulk kui ruum, nimelt ühemõõtmeline eukleidiline ruum. Seda ruumi saab vaadelda vektorruumina, afiinse ruumina, meetrilise ruumina, topoloogilise ruumina, mõõdu ruumina või lineaarse kontiinuumina.
Nagu ka reaalarvude hulka, tähistatakse reaalsirget tavaliselt sümboliga või . Mõnikord kasutatakse ka tähist R1, et näidata, et tegu on ühemõõtmelise eukleidilise ruumiga.
Lineaarse kontiinuumina
Reaalsirge on tavalise järjestuse < suhtes lineaarne kontiinuum: ta on lineaarselt järjestatud ning see järjestus on tihe ja tal on supreemumiomadus.
Reaalsirgel ei ole maksimaalseid ega minimaalseid elemente. Tal on loenduv tihe alamhulk, nimelt ratsionaalarvude hulk. On tõestatud, et mis tahes lineaarne kontiinuum, millel leidub loenduv tihe alamhulk ja ei leidu maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on järjestusisomorfne reaalsirgega.
Meetrilise ruumina
Reaalsirge moodustab meetrilise ruumi, mille meetrika annab absoluutvahe ehk vahe absoluutväärtus:
- d(x, y) = | x − y |.
Kui p ∈ R ja ε > 0, siis ε-kera ruumis keskpunktiga on lihtsalt vahemik (p − ε, p + ε).
Reaalsirgel kui meetrilisel ruumil on mitu tähtsat omadust:
- Reaalsirge on täielik meetriline ruum: iga punktide Cauchy jada koondub.
- Reaalsirge on lineaarselt sidus ning on geodeetilise meetrilise ruumi üks lihtsamaid näiteid.
- Reaalsirge Hausdorffi mõõde on 1.
- Reaalsirge isomeetriarühm ehk eukleidiline rühm koosneb kõigist funktsioonidest kujuga x ↦ t ± x, kus on reaalarv. See rühm on isomorfne aditiivse rühma ning 2. järku tsüklilise rühma poolotsekorrutisega ning on üldistatud diedraalse rühma näide.
Topoloogilise ruumina
Reaalsirgel on loomulik topoloogia, mille saab defineerida kahel moel.
Esiteks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul viisil täielikult järjestatud hulk, on tal loomulik järjestustopoloogia. Teiseks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul moel meetriline ruum, on neil loomulik meetriline topoloogia. See järjestustopoloogia ja see meetriline topoloogia langevad kokku. Topoloogilise ruumina on reaalsirge homöomorfne vahemikuga (0, 1).
Reaalsirge on triviaalsel moel topoloogiline muutkond, mille mõõde on 1. Ta on homöomorfismi täpsusega üks kahest erinevast rajata 1-muutkonnast (teine on ringjoon).
Tal on ka loomulik diferentseeruv struktuur, millega ta on diferentseeruv muutkond. Difeomorfismi täpsusega võimaldab reaalsirge loomulik topoloogia ainult ühte diferentseeruvat struktuuri.
Reaalsirge on lokaalselt kompaktne ja parakompaktne, samuti loenduva baasiga ja normaalne.
Ta on ka lineaarselt sidus ning seetõttu ka sidus, kuigi teda saab muuta mittesidusaks ühe punkti eemaldamisega. Reaalsirge on ka kokkutõmmatav, nii et kõik tema homotoopiarühmad ja redutseeritud homoloogia rühmad on 0.
Reaalsirge on lokaalselt kompaktne ruum, mida saab mitut moodi kompaktifitseerida. Selle ühepunktiline kompaktifikatsioon on ringjoon (nimelt projektiivne reaalsirge) ning lisapunkti võib vaadelda märgita lõpmatusena. Teise võimalusena saab reaalsirgele lisada kaks otsa, nii et saadakse laiendatud reaalsirge [−∞, +∞]. On ka Stone'i–Čechi kompaktifikatsioon, mille puhul lisatakse lõpmata palju punkte.
Mõnel juhul on otstarbekas anda reaalsirgele mitteloomulikke topoloogiaid, näiteks alumise piirväärtuse topoloogia ja Zariski topoloogia. Reaalsirge puhul langeb viimane kokku kolõpliku topoloogiaga.
Vektorruumina
Reaalsirge on ühemõõtmeline vektorruum üle reaalarvude korpuse R (üle iseenda). Tal on loomulik skalaarkorrutis (reaalarvude korrutis), nii et tekib eukleidiline ruum. Loomulik norm on absoluutväärtus.
Mõõdu ruumina
Reaalsirge kanooniline mõõt on Lebesgue'i mõõt, mis on Boreli mõõdu vähim täielik laiend. Iga intervalli täielik mõõt on selle pikkus.
Reaalsirge Lebesgue'i mõõt on üks lihtsamaid näiteid Haari mõõdust lokaalselt kompaktsel rühmal.
- ↑ Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)