Sirge

Sirge ehk sirgjoon on ilma läbimõõduta, mõlemas suunas lõpmata pikk, kõverusteta joon ehk ühemõõtmeline ruum, mis võib sisalduda mitmemõõtmelises ruumis.

Sirge tasandil

Üldvõrrand

Sirge üldvõrrand tasandil on (Descartes'i koordinaadistikus) ristkoordinaadistikus lineaarvõrrand $Ax+By+C=0$$Ax+By+C=0$, kus $A$$A$, $B$$B$ ja $C$$C$ on konstandid, kusjuures $A$$A$ ja $B$$B$ ei võrdu samaaegselt nulliga.

Näide

Sirge võrrand tasandil:

$4x-1y-1=0{\text{ ehk }}y=4x-1$$4x-1y-1=0{\text{ ehk }}y=4x-1$

Parameetriline kuju

Kasutatakse üldvõrrandi $Ax+By+C=0$$Ax+By+C=0$ parameetrilist kuju $L=\left\{{\begin{array}{c}x=x_{0}+ta\\y=y_{0}+tb\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R}$$L=\left\{{\begin{array}{c}x=x_{0}+ta\\y=y_{0}+tb\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R}$

Näide

$\mathbb {R} ^{2}$$\mathbb {R} ^{2}$, kus sirge on määratud 2 vektori kaudu $\alpha =\left({\begin{array}{c}2\\4\end{array}}\right){\text{ ja }}\beta =\left({\begin{array}{c}3\\3\end{array}}\right)$$\alpha =\left({\begin{array}{c}2\\4\end{array}}\right){\text{ ja }}\beta =\left({\begin{array}{c}3\\3\end{array}}\right)$ :

$L={a+t({\overrightarrow {\beta -\alpha }}),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }={\left({\begin{array}{c}2+t\\4-t\end{array}}\right),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }$$L={a+t({\overrightarrow {\beta -\alpha }}),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }={\left({\begin{array}{c}2+t\\4-t\end{array}}\right),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }$

või

$L={b+t({\overrightarrow {\beta -\alpha }}),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }={\left({\begin{array}{c}3+t\\3-t\end{array}}\right),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }$$L={b+t({\overrightarrow {\beta -\alpha }}),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }={\left({\begin{array}{c}3+t\\3-t\end{array}}\right),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }$

Lisaks eelnimetatule on võimalik parameetrilist kuju tähistada, kui parameetrilisi võrrandeid

$L=\left\{{\begin{array}{c}x_{1}=a_{1}+ts_{1}\\x_{2}=a_{2}+ts_{2}\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R} =\left\{{\begin{array}{c}x_{1}=3+t\\x_{2}=3-t\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R}$$L=\left\{{\begin{array}{c}x_{1}=a_{1}+ts_{1}\\x_{2}=a_{2}+ts_{2}\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R} =\left\{{\begin{array}{c}x_{1}=3+t\\x_{2}=3-t\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R}$

ja (Descartes kujul) ehk kanoonilisel kujul

${\frac {x_{1}-a_{1}}{s_{1}}}={\frac {x_{2}-a_{2}}{s_{2}}}\to {\frac {x_{1}-2}{1}}={\frac {x_{2}-4}{-1}}\to x_{1}=-x_{2}+6$${\frac {x_{1}-a_{1}}{s_{1}}}={\frac {x_{2}-a_{2}}{s_{2}}}\to {\frac {x_{1}-2}{1}}={\frac {x_{2}-4}{-1}}\to x_{1}=-x_{2}+6$

Joonised

• 

  Võrrandiga $y=4x-1$$y=4x-1$ määratud sirge.

• 

  Parameetrilise võrranditega $x_{1}=3+t$$x_{1}=3+t$, $.x_{2}=3-t$$.x_{2}=3-t$ määratud sirge.

• 

  Sirged tasandil.

Omadused

Olgu antud sirged $u$$u$ ja $v$$v$, ning nendele vastavad sihivektorid ${\vec {s}}_{1}$${\vec {s}}_{1}$ ja ${\vec {s}}_{2}$${\vec {s}}_{2}$.

Ristuvad sirged

Sirged on risti parajasti siis, kui nende sihivektorite skalaarkorrutis on $0$$0$:

${\vec {s}}_{1}\cdot {\vec {s}}_{2}=0$${\vec {s}}_{1}\cdot {\vec {s}}_{2}=0$

Paralleelsed sirged

Sirged on paralleelsed parajasti siis, kui nende sihivektorite skalaarkorrutise moodul on $1$$1$:

$|{\vec {s}}_{1}\cdot {\vec {s}}_{2}|=1$$|{\vec {s}}_{1}\cdot {\vec {s}}_{2}|=1$

Kahte punkti saab läbida vaid üks sirge

Eukleidese geomeetrias läbib kahte eri punkti parajasti üks sirge.

Määratud

tõusu ja algordinaadiga

Tõusu (k) ja algordinaadiga (a) määratud sirge võrrand tasandil:

$y=kx+a$$y=kx+a$.

kahe punktiga

Kahe punktiga määratud sirge võrrand tasandil:

${\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$${\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$.

punkti ja sihivektoriga

Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand tasandil:

${\frac {y-y_{1}}{s_{y}}}={\frac {x-x_{1}}{s_{x}}}$${\frac {y-y_{1}}{s_{y}}}={\frac {x-x_{1}}{s_{x}}}$.

punkti ja tõusuga

Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand tasandil:

$y-y_{1}=k(x-x_{1})$$y-y_{1}=k(x-x_{1})$.

kahe tasandi lõikena

Kahe tasandi $\Pi _{1}:{\mathbf {n}}_{1}\cdot {\mathbf {r}}=h_{1}$$\Pi _{1}:{\mathbf {n}}_{1}\cdot {\mathbf {r}}=h_{1}$ ja $\Pi _{2}:{\mathbf {n}}_{2}\cdot {\mathbf {r}}=h_{2}$$\Pi _{2}:{\mathbf {n}}_{2}\cdot {\mathbf {r}}=h_{2}$ lõike sirge, kus ${\mathbf {n}}_{i}$${\mathbf {n}}_{i}$ on normaal vektor, on antud

${\mathbf {r}}=(c_{1}{\mathbf {n}}_{1}+c_{2}{\mathbf {n}}_{2})+\lambda ({\mathbf {n}}_{1}\times {\mathbf {n}}_{2})$${\mathbf {r}}=(c_{1}{\mathbf {n}}_{1}+c_{2}{\mathbf {n}}_{2})+\lambda ({\mathbf {n}}_{1}\times {\mathbf {n}}_{2})$

kus

$c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\mathbf {n}}_{1}\cdot {\mathbf {n}}_{2})}{1-({\mathbf {n}}_{1}\cdot {\mathbf {n}}_{2})^{2}}}$$c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\mathbf {n}}_{1}\cdot {\mathbf {n}}_{2})}{1-({\mathbf {n}}_{1}\cdot {\mathbf {n}}_{2})^{2}}}$

$c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\mathbf {n}}_{1}\cdot {\mathbf {n}}_{2})}{1-({\mathbf {n}}_{1}\cdot {\mathbf {n}}_{2})^{2}}}.$$c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\mathbf {n}}_{1}\cdot {\mathbf {n}}_{2})}{1-({\mathbf {n}}_{1}\cdot {\mathbf {n}}_{2})^{2}}}.$

Rakendatavad funktsioonid

Sirge kaugus punktist ℝ³ ruumis

Olgu antud sirge $u$$u$ ja punkt $D(x_{1};y_{1};z_{1})$$D(x_{1};y_{1};z_{1})$. Olgu sirge $u$$u$ sihivektoriks ${\overrightarrow {s}}=(s_{z};s_{y};s_{z})$${\overrightarrow {s}}=(s_{z};s_{y};s_{z})$, siis leiame punkti $X=(x;y;z)$$X=(x;y;z)$ sirgel, mis asub sirgel $u$$u$ ja mille kaugus on vähim punkti $D(x_{1};y_{1};z_{1})$$D(x_{1};y_{1};z_{1})$. Selleks lahendame võrrandid :

${\frac {x-x_{1}}{s_{x}}}={\frac {y-y_{1}}{s_{y}}}={\frac {z-z_{1}}{s_{z}}}$${\frac {x-x_{1}}{s_{x}}}={\frac {y-y_{1}}{s_{y}}}={\frac {z-z_{1}}{s_{z}}}$

Siis leiame vektori ${\overrightarrow {DX}}$${\overrightarrow {DX}}$ ja selle pikkuse $r=\left|\left|{\overrightarrow {DX}}\right|\right|$$r=\left|\left|{\overrightarrow {DX}}\right|\right|$, mis on punkti kaugus sirgest:

$r={\sqrt {\left(x-x_{1}\right){}^{2}+\left(y-y_{1}\right){}^{2}+\left(z-z_{1}\right){}^{2}}}$$r={\sqrt {\left(x-x_{1}\right){}^{2}+\left(y-y_{1}\right){}^{2}+\left(z-z_{1}\right){}^{2}}}$

Sirgete kaugus ruumis

Olgu antud sirged $u$$u$ ja $v$$v$. Sellest leiame vastavad sihivektorid ${\overrightarrow {s_{1}}}$${\overrightarrow {s_{1}}}$ ning ${\overrightarrow {s_{2}}}$${\overrightarrow {s_{2}}}$ ja suvalised punktid mõlemal sirgel vastavalt $A$$A$ ja $B$$B$.

Paralleelsed sirged

$\varrho ={\frac {\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {\text{AB}}}\right|\right|}{\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\right|\right|}}$$\varrho ={\frac {\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {\text{AB}}}\right|\right|}{\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\right|\right|}}$

Kiivsirged

$\varrho (u,v)={\frac {\left|({\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {s_{2}}})\cdot {\overrightarrow {\text{AB}}}\right|}{\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {s_{2}}}\right|\right|}}$$\varrho (u,v)={\frac {\left|({\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {s_{2}}})\cdot {\overrightarrow {\text{AB}}}\right|}{\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {s_{2}}}\right|\right|}}$

Puutuja

$y-y_{1}={\frac {}{}}(f'(x))(x-x_{1})$$y-y_{1}={\frac {}{}}(f'(x))(x-x_{1})$

Normaal

$y-y_{1}=\left({\frac {-1}{f'(x)}}\right)(x-x_{1})$$y-y_{1}=\left({\frac {-1}{f'(x)}}\right)(x-x_{1})$

Vaata ka

• Tuletis
• Punkt
• Sirgete lõikumine
• Tasand