Alamhulk

Allikas: Vikipeedia
Venni diagramm: A on B alamhulk ehk B on A ülemhulk

Matemaatikas nimetatakse hulka A hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ehk alamsüsteemiks[1], kui kõik hulga A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A ⊂ B või A ⊆ B[2]. Alamhulgaks olemist nimetatakse sisalduvuseks ja asjaolu A ⊂ B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkade vahelist binaarset seost ⊂ nimetatakse seetõttu sisalduvusseoseks.

Võib ka öelda, et B on A ülemhulk, mis on samaväärne sellega, et A on B alamhulk. Hulk B on hulga A ülemhulk parajasti siis, kui hulk A on hulga B alamhulk. Viimase asjaolu tõttu kanduvad ülemhulgale üle kõik alamhulkade omadused, kuid seda ümberpööratud kujul.

Omadused[muuda | muuda lähteteksti]

Definitsioonist järelduvad järgmised omadused:

  1. Refleksiivsus: iga hulk on iseenda alamhulk,
  2. Antisümmeetrilisus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga A alamhulk, siis need hulgad on võrdsed,
  3. Transitiivsus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga C alamhulk, siis on A ka hulga C alahulk.
  4. Tühi hulk ø on iga hulga alamhulk.

Omadused (1)–(3) ütlevad, et ⊂ on osaline järjestus kõikide hulkade klassil, ning omadus (4) ütleb, et ø on selle järjestuse vähim element.

Tähistusest[muuda | muuda lähteteksti]

Kui hulk B on hulga A alamhulk, mis ei ühti hulgaga A, siis nimetatakse seda hulga A pärisalamhulgaks. Viimase asjaolu rõhutamiseks kasutatakse mõnikord tähistust

.

Kui soovitakse rõhutada omaduse (1) kehtivust, kasutatakse tähistust

,

kusjuures mõned autorid võivad sel juhul kirjapildiga ⊂ tähistada just pärisalamhulgaks olemist. Viimane tähistusviis on siiski pigem erand kui reegel.

Kasutusel on ka "ümber pööratud" tähistus

.

Sel juhul öeldakse, et A on B ülemhulk.

Näited[muuda | muuda lähteteksti]

Karakteristlik funktsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Hulga B alamhulga saab defineerida tema karakteristliku funktsiooni kaudu:

.

χA(b) võrdub 1, kui b on hulga A element, vastasel korral võrdub 0.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)
  2. P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 6