Topoloogiline ruum

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Topoloogiline ruum on üks matemaatika põhimõisteid, eukleidilise ruumi ja meetrilise ruumi üldistus. Topoloogilistele ruumidele üldistuvad ka paljud matemaatilise analüüsi mõisteid, sealhulgas koonduvus, pidevus ja sidusus.

Topoloogilisi ruume uurib matemaatika haru üldtopoloogia. Seda mõistet kasutatakse paljudes teistes matemaatika harudes.

Kui kontekstist on selge, et jutt on topoloogilisest ruumist, kasutatakse tihti lihtsalt sõna "ruum".

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Topoloogilist ruumi defineeritakse mitmel ekvivalentsel moel. Levinuima definitsiooni puhul võetakse algmõisteks lahtise hulga mõiste.

Definitsioon lahtiste hulkade kaudu[muuda | muuda lähteteksti]

Topoloogiliseks ruumiks nimetatakse järjestatud paari , kus on mingi mittetühi hulk ning on hulga alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:

  1. tühi hulk ja hulk X kuuluvad hulka ,
  2. iga kahe hulka kuuluva alamhulga ühisosa kuulub hulka ,
  3. ükskõik kui paljude hulka kuuluvate alamhulkade ühend kuulub hulka .

Hulka nimetatakse topoloogilise ruumi topoloogiaks ning kogumi elemente lahtisteks hulkadeks topoloogilises ruumis . Lahtise hulga täiendit hulgani X nimetatakse kinniseks hulgaks topoloogilises ruumis . Kui on selge, missugust topoloogiat hulgal vaadeldakse, siis võidakse topoloogilist ruumi tähistada ka lihtsalt tähisega .

Olgu ja topoloogiad hulgal . Öeldakse, et topoloogia on tugevam kui topoloogia (ehk topoloogia on nõrgem kui topoloogia ), kui .

Definitsioon kinniste hulkade kaudu[muuda | muuda lähteteksti]

Topoloogilise ruumi saab määratleda ka kinniste hulkade kaudu:

Topoloogiliseks ruumiks nimetatakse järjestatud paari , kus on mingi mittetühi hulk ning on hulga alamhulkade hulk, mis rahuldab järgmisi tingimusi:

  1. tühi hulk ja hulk X kuuluvad hulka ,
  2. iga kahe hulka kuuluva alamhulga ühend kuulub hulka ,
  3. ükskõik kui paljude hulka kuuluvate alamhulkade ühisosa kuulub hulka .

Hulka kuuluvaid alamhulki nimetatakse kinnisteks hulkadeks ning hulga elementide täiendeid lahtisteks hulkadeks topoloogilises ruumis .

Lihtne on veenduda, et topoloogilise ruumi määratlus kinniste hulkade kaudu on samaväärne topoloogilise ruumi määratlusega lahtiste hulkade kaudu — see tähendab, et iga , ja korral on topoloogiline ruum esimese määratluse järgi ning on topoloogilise ruumi kõigi kinniste hulkade hulk esimese määratluse järgi parajasti siis, kui on topoloogiline ruum teise määratluse järgi ning on topoloogilise ruumi kõigi lahtiste hulkade hulk teise määratluse järgi.

Näiteid[muuda | muuda lähteteksti]

Triviaalne topoloogia ja diskreetne topoloogia[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu mistahes mittetühi hulk. Siis on topoloogia hulgal . Seda topoloogiat nimetatakse triviaalseks topoloogiaks hulgal . Tegu on nõrgima topoloogiaga hulgal .

Samamoodi on mistahes mittetühja hulga korral hulk (hulga kõigi alamhulkade hulk) topoloogia hulgal ; teda nimetatakse diskreetseks topoloogiaks hulgal . Ilmselt on tegu tugevaima topoloogiaga hulgal .

Kolõplik topoloogia[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu mistahes mittetühi hulk ning tema kõigi lõplike alamhulkade hulk. Siis

\}

on topoloogia hulgal ; seda nimetatakse kolõplikuks topoloogiaks hulgal .

Meetriline ruum topoloogilise ruumina[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu meetriline ruum. Tähistame abil lahtist kera keskpunktiga ja raadiusega , s. o.

iga korral. Siis

on topoloogia hulgal — see on kauguse poolt määratud topoloogia hulgal .

Kaks erinevat kaugust ühel hulgal võivad määrata ühe ja sama topoloogia.

Topoloogilist ruumi, mida saab vaadelda meetrilise ruumina, s. o. millel saab määratleda niisuguse kauguse, mis määrab selle topoloogilise ruumi topoloogia, nimetatakse metriseeruvaks topoloogiliseks ruumiks.

Kui on meetriline ruum, on kauguse poolt määratud topoloogia hulgal X ning on hulga mittetühi alamhulk, siis kauguse poolt hulgal määratud topoloogia on hulga alamruumi topoloogia topoloogilises ruumis .

Loomulik topoloogia lõplikumõõtmelistes vektorruumides[muuda | muuda lähteteksti]

Arvuhulgad ja on normeeritud ruumid loomuliku normi suhtes ja seega meetrilised ruumid sellele normile vastava loomuliku kauguse suhtes, kus || tähistab reaalarvude puhul absoluutväärtust ja kompleksarvude puhul moodulit. Selle kauguse poolt määratud topoloogiat nimetatakse loomulikuks topoloogiaks vastaval arvuhulgal. Näiteks hulga loomulik topoloogia on väljakirjutatuna

.

Olgu ja . Osutub, et iga kahe normi ja korral vektorruumil (üle korpuse ) kummalegi normile vastavate kauguste poolt määratud topoloogiad ühtivad. Nii võib määratleda loomuliku topoloogia hulkadel kui mistahes normeeritud ruumi normile vastava kauguse poolt määratud topoloogia.

Kui on mingi hulga mittetühi alamhulk ja on loomulik topoloogia hulgal , siis hulga loomulikuks topoloogiaks nimetame tema alamruumi topoloogiat topoloogilises ruumis . Kui mingi kaugus määrab loomuliku topoloogia hulgal , siis määrab ta ka loomuliku topoloogia hulgal . Näiteks kaugus määrab loomuliku topoloogia kõigi naturaalarvude hulgal või lõigul . Seejuures osutub kõigi naturaalarvude hulga loomulik topoloogia diskreetseks topoloogiaks.

Üks (mitteloomulik) naturaalarvude topoloogia[muuda | muuda lähteteksti]

Tähistame iga korral . Siis

on topoloogia hulgal .

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]