Elektromagnetvälja tensor

Allikas: Vikipeedia

Elektromagnetvälja tensor on füüsikaline suurus, mis võimaldab elektromagnetvälja kovariantselt kirjeldada. Elektromagnetvälja tensor on neljamõõtmeline tensor, mida hakkas kasutama Hermann Minkowski tema enda loodud erirelatiivsusteooria formalismis. Elektromagnetvälja tensor võimaldab mõningaid füüsikaseaduseid väga kompaktselt kirja panna.

Detailid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Matemaatiline märkus: Selles artiklis kasutatakse abstraktset indeksinotatsiooni.

Elektromagnetvälja tensor F^{\mu\nu} esitatakse tavaliselt maatriksina:

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}

või

F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}
kus
E on elektriväli,
B on magnetväli ja
c on valguse kiirus.
Ülaltoodud märgid sõltuvad aegruumi meetrilise tensori valikust. Siin kasutatakse märgikokkulepet +---, millele vastab meetriline tensor
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Väljatensori maatrikskujust ilmnevad järgmised omadused:

Et tegemist on tensoriga, siis moodustub kontraktsioonidel Lorentzi invariant:

F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right) = \mathrm{invariant}

Tensori F^{\mu\nu} \, korrutis oma duaalse tensoriga annab pseudoskalaarse invariandi:

 \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = \frac{4}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)  = \mathrm{invariant} \,

kus \ \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} \, on neljandat järku täielikult antisümmeetiline pseudotensor ehk Levi-Civita sümbol. Märkus: ülalasuva avaldise märk sõltub Levi-Civita sümboli jaoks kasutatavast märgikokkuleppest. Siin kasutatud kokkulepe on \ \epsilon_{0123} \, = +1.

Elektromagnetvälja tensori determinant on

 \det \left( F \right) = \frac{1}{c^2} \left( \vec B \cdot \vec E \right) ^{2} .

Elektromagnetvälja tensori saab kirja panna 4-vektorpotentsiaali A^{\alpha} \, kaudu:


F_{ \alpha\beta } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{ \partial A_{\beta} }{ \partial x^{\alpha} } - \frac{ \partial A_{\alpha} }{ \partial x^{\beta} } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 
\partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha}

Kus nelivektorpotentsiaal on moodustatud magnetvälja vektorpotentsiaalist ja elektrivälja (skalaarsest) potentsiaalist:

A^{\mu} = \left( \frac{\phi}{c} , \vec A \right)

ja selle kovariantne kuju leitakse korrutamisel Minkowski meetrikaga \eta \, :

A_{\mu} \, = \eta_{\mu\nu} A^{\nu} = \left( -\frac{\phi}{c}, \vec A \right)

Maxwelli võrrandid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Maxwelli võrrandid

Maxwelli võrrandid võtavad elektromagnetilise tensori kaudu väljendudes võrdlemisi kompaktse kuju. Elektrivälja jaoks kehtib

\partial_{\beta} F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^{\alpha} \,

kus

J^{\alpha} = ( c \, \rho , \vec{J} ) \,

on elektrilaengu 4-vool.

Võrrandid magnetismi jaoks taanduvad kujule

F_{ \alpha \beta , \gamma } + F_{ \beta \gamma , \alpha } + F_{ \gamma \alpha , \beta } = 0 \,

kus koma tähistab osatuletist

{\partial f \over \partial x^\gamma}\equiv \partial_\gamma f \equiv {f}_{,\gamma}.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]