Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering

Allikas: Vikipeedia
Täienda Artikkel vajab täiendamist, et anda teemast piisavat ülevaadet.
Märkuse lisamise konkreetseid põhjusi vaata artikli muudatuste ajaloost või artikli arutelust.

Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering on klassikalise elektromagnetismi esitamine kovariantsel kujul erirelatiivsusteooria formalismi abil.

Kovariantsest esitusest saab rääkida ka üldrelatiivsusteooria kontekstis.

Kovariantsed objektid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Lisaks asukoha, kiiruse ja impulsi neli-vektorite on elektromagnetvälja ja laetud osakeste kirjedamiseks tarvis veel järgmiseid matemaatilisi objekte:

Elektromagentvälja tensor[muuda | redigeeri lähteteksti]

Elektromagnetvälja tensoris on magnetiline induktsioon ja elektrivälja tugevus ühendatud üheks antisümmeetriliseks tensoriks. SI-süsteemi ühikutes on selle kuju

F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
0 &  E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c  & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{matrix} \right)\, ,

kus

\boldsymbol{E}\, on elektrivälja tugevus,
\boldsymbol{B}\, on magnetiline induktsioon ja
c\, on valguse kiirus.

Voolu neli-vektor[muuda | redigeeri lähteteksti]

Voolu neli-vektor on kontravariantne neli-vektor, mis ühendab elektrivoolu tiheduse ja laengutiheduse ühtseks neli-vektoriks. Esitatuna amprites ruutmeetri kohta on see kujul

J^{\alpha}  = \,  (c \rho, \boldsymbol{J} ) \,

kus  \rho \, on laengutihedus,  \boldsymbol{J}\, on voolutihedus, ja c\, on valguse kiirus.

Potentsiaali neli-vektor[muuda | redigeeri lähteteksti]

Elektromagnetvälja neli-potentsiaal on elektrivälja skalaarsest potentsiaalist \phi\, ja magnetvälja vektorpotentsiaalist  \boldsymbol{A} \, moodustatud neli-vektor

A_{\alpha} = \left(\phi/c, - \boldsymbol{A} \right)\,.

Elektromagnetvälji avaldub 4-potentsiaali kaudu järgmiselt:

F_{\alpha \beta} = \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha} \,

kus

\partial_\alpha = \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} = \left( \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \boldsymbol{\nabla} \right) \,.

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor[muuda | redigeeri lähteteksti]

Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor on sümmeetriline kontravariantne tensor

T^{\alpha\beta} = \begin{bmatrix} \frac{\epsilon_{0}}{2}\left(E^2 + c^2 B^2\right) & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\ S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\
S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\
S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{bmatrix}\, ,

mis ühendab endasse Poyntingi vektori

\boldsymbol{\rm S} = \frac{1}{\mu_{0}} \boldsymbol{\rm E} \times \boldsymbol{\rm B} \, ,

elektromagnetvälja energiatiheduse

\frac{\epsilon_{0}}{2}\left(E^2 + c^2 B^2\right) \, ,

ja Maxwelli pingetensori komponentidega

\sigma_{ij} = \epsilon_{0}E_{i}E_{j} + \frac{1}{\mu_{0}}B_{i}B_{j} - \frac{\epsilon_{0}}{2}\left(E^2 + c^2 B^2\right)\delta_{ij} \, ,

kus \epsilon_0\, on elektriline konstant, \mu_0\, on magnetiline konstant ja \eta \, on Minkowski meetrika. Ülal on kasutatud seost

c^2 = \frac{1}{\epsilon_{0} \mu_{0}}\,.

Maxwelli võrrandid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kovariantses formuleeringus on Maxwelli võrrandite kuju võrdlemisi kompaktne:

\frac{\partial F^{\alpha\beta }}{\partial x^\alpha} = \mu_{0} J^\beta
\qquad\hbox{ja}\qquad
0 = \epsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} \frac{\partial F_{\alpha \beta}}{\partial x^\gamma},

kus F^{\alpha\beta}\, on elektromagnetvälja tensor, J^{\alpha}\, on neli-vool, \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\, on Levi-Civita sümbol ja üle korduvate indeksite summeeritakse Einsteini summeerimiskokkuleppe järgi.

Lorentzi jõud[muuda | redigeeri lähteteksti]

Punktlaengu liikumisvõrrandite kovariantne kuju on

 \frac{d p_{\alpha}}{d \tau} \, = q \, F_{\alpha \beta} \, u^\beta

kus p_{\alpha}\, on punktosakese neli-impulss, q\, on selle elektrilaeng, u^{\beta}\, on neli-kiirus ja \tau\, on osakese omaaeg. See võrrand on Newtoni II seaduse analoog relativistlikul juhul, kusjuures võrduse vasak pool on Lorentzi jõu kovariantne avaldis.

Pidevuse võrrand[muuda | redigeeri lähteteksti]

Laengu jäävusele vastava pidevuse võrrandi kovariantne kuju on:

{J^{\alpha}}_{,\alpha} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \,  \partial_{\alpha} J^{\alpha} \, = \, 0 \,.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]