Levi-Civita sümbol

Allikas: Vikipeedia

Levi-Civita sümbol ehk Levi-Civita permutatsioonitensor ehk Levi-Civita tensor [1] on matemaatiline sümbol, mis vastab n-mõõtmelisele tensorile ja millel on n naturaalarvulist indeksit. Sümbol on nime saanud itaallasest matemaatiku ja füüsiku Tullio Levi-Civita järgi. Levi-Civita sümboli märkimiseks kasutatakse kreeka väiketähte epsiloni, mis kirjutatakse erinevate autorite poolt kas ε või ϵ, vähemlevinud variant on ladina väiketäht e.

Levi-Civita sümbolit kasutatakse, et märkida indeksite permutatsiooni nii, et see oleks vastavuses tensoranalüüsiga:

\varepsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n},

kus iga indeks i1, i2, ... , in saab väärtused naturaalarvude hulgast 1, 2, ... , n, kusjuures erinevaid \varepsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n} saab olla nn tükki. Indeks n näitab Levi-Civita sümboli mõõdet.

Termin "n-mõõtmeline Levi-Civita sümbol" viitab asjaolule, et indeksite arv sümbolis vastab vaatluse all oleva vektorruumi dimensionaalsusele. Selleks ruumiks võib olla näiteks Eukleidiline ruum või meetriline ruum. Levi-Civita sümboli väärtused on sõltumatud koordinaatide süsteemist või meetrikast.

Tullio Levi-Civita avaldas koos Gregorio Ricci-Curbastroga 1900. aastal artikli "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", kus esmakordselt kirjeldati sümbolit, mis hiljem sai tuntuks Levi-Civita sümbolina. Oma hilisemas töös kutsus Levi-Civita sümbolit ε-süsteemiks.[2]

Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Levi-Civita sümbol peab olema antisümmeetriline ehk kui kaks suvalist indeksit, olenemata nende väärtusest, vahetavad kohad, muutub kogu Levi-Civita sümbol vastasmärgiliseks.

\varepsilon_{\cdots i_p \cdots i_q \cdots} = \varepsilon_{\cdots i_q \cdots i_p \cdots}

Kui kaks või enam suvalist indeksit on võrdsed, on sümboli väärtus võrdne nulliga. Kui kõik indeksid on üksteisest erinevad, saab võrduse

\varepsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n} = (-1)^p \varepsilon_{12 \cdots n},

kus p on inversioonide arv ja näitab, kui mitu korda on vaja indekseid ümber tõsta, et permutatsioonist (i1, i2, ... , in) saaks n-elemendiline permutatsioon (1, 2, ... , n), mida tuntakse ka loomuliku permutatsioonina.[3]

Ühemõõtmeline[muuda | redigeeri lähteteksti]

Ühemõõtmeline Levi-Civita sümbol on sümboli lihtsaim näide, kuna on üksainus indeks i, mis on alati endaga võrdne:

\varepsilon_i = 0 \text{ kuna } i=i .

Kahemõõtmeline[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kahemõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud järgmiselt:

 \varepsilon_{ij} =
\begin{cases}
+1 & \text{kui } (i,j) \text{ on } (1,2) \\
-1 & \text{kui } (i,j) \text{ on } (2,1) \\
\;\;\,0 & \text{kui }i=j.
\end{cases}

Kõik võimalikud väärtused annavad 2×2 antisümmeetrilise maatriksi:

 \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .

Kolmemõõtmeline[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kolmemõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud järgmiselt:[4]

 \varepsilon_{ijk} =
\begin{cases}
+1 & \text{kui } (i,j,k) \text{ on } (1,2,3), (3,1,2) \text{ või } (2,3,1), \\
-1 & \text{kui } (i,j,k) \text{ on } (1,3,2), (3,2,1) \text{ või } (2,1,3), \\
\;\;\,0 & \text{kui }i=j \text{ või } j=k \text{ või } k=i.
\end{cases}

Kui (i, j, k) moodustavad paarispermutatsiooni, siis on \varepsilon_{ijk} väärtus +1; kui (i, j, k) moodustavad paaritu permutatsiooni, siis on \varepsilon_{ijk} väärtus -1; kui kaks või enam indeksi väärtust korduvad on tulemuseks 0.

Sarnaselt kahemõõtmelise Levi-Civita sümboli väärtustega saab kolmemõõtmelise sümboli kõik väärtused esitada 3×3×3 maatriksina, kus i on sügavus, j on rida ja k on veerg.

\varepsilon_{ijk} või ükskõik milline selle skalaarkorrutis on ainus kolme alaindeksiga suurus, mis muudab märki, kui kahe indeksi kohad omavahel ära vahetada.[5]

Epsilontensor.svg

Mõned näited:

 \varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}} = - 1
\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}} = -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1
\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1
\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = 0

Neljamõõtmeline[muuda | redigeeri lähteteksti]

Neljamõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud sarnaselt kolmemõõtmelisele Levi-Civita sümbolile:

 \varepsilon_{ijkl} =
\begin{cases}
+1 & \text{kui } (i,j,k,l) \text{ on paarispermutatsioon jadast (1, 2, 3, 4)}, \\
-1 & \text{kui } (i,j,k,l) \text{ on paaritupermutatsioon jadast (1, 2, 3, 4)}, \\
\;\;\,0 & \text{kui kaks või enam indeksit on võrdsed.}
\end{cases}

Neljamõõtmelise Levi-Civita sümboli kõiki võimalike väärtusi saab esita nagu ka kahe- ja kolmemõõtmelisi: 4×4×4×4 maatriksina.

Üldistus n-mõõtmele[muuda | redigeeri lähteteksti]

Üldistus n-mõõtmele tuleb kolmemõõtmelise Levi-Civita sümboli definitsioonist. Kui võtta indeksiteks naturaalarvud a1, a2, a3, ... , an saab neljamõõtmelise Levi-Civita sümboli järgmiselt:

 \varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} =
\begin{cases}
+1 & \text{kui } (a_1 a_2 a_3 \cdots a_n) \text{ on paarispermutatsioon jadast (1, 2, 3,..., n)}, \\
-1 & \text{kui } (a_1 a_2 a_3 \cdots a_n) \text{ on paaritupermutatsioon jadast (1, 2, 3,..., n)}, \\
\;\;\,0 & \text{kui kaks või enam indeksit on võrdsed.}
\end{cases}

Levi-Civita sümboli võib kirjutada ka järgmisel kujul:

 \begin{align}
\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} & = \prod_{1\leq i < j \leq n} \sgn ( a_j-a_i ) \\
& = \sgn(a_2 - a_1)\sgn(a_3 - a_1)\ldots\sgn(a_n - a_1)\sgn(a_3 - a_2)\sgn(a_4 - a_2)\ldots\sgn(a_n - a_2)\ldots\sgn(a_n - a_{n-1}).
\end{align}

Selles valemis tähistab \prod korrutamise sümbolit, mis tähendab, et avaldist tuleb korrutada üle muuutujate i ja j. Sgn on signumfunktsioon, mille väärtused on kas (+1, 0, -1) vastavalt sellele, kas funktsiooni avaldis on suurem või väiksem kui null või nulliga võrdne. Valem kehtib kõikide n väärtuste korral, kuid on siiski vähelevinud, kuna indeksite ümbertõstmine Levi-Civita sümboli leidmiseks on lihtsam ja kiirem.

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tensor, mille komponendid on ortonormaalses baasis esitatud Levi-Civita sümboli kaudu, on pseudotensor, sest ortogonaalse transformatsiooni käigus omandab jakobiaan negatiivse märgi. Kuigi Levi-Civita sümbol käitub pärisortogonaalteisendustel nagu tensor, on ta siiski kolmandat järku Descartes'i pseudotensor. Seega Levi-Civita sümboli nimetamine Levi-Civita permutatsioonitensoriks on pigem formaalne.[5]

Vastavalt kontekstile, kus Levi-Civita sümbolit on tensorite komponetide muutmiseks vaja kasutada, tuleb sümbol kirjutada kas kovariantsena (\varepsilon_{ij \cdots k}) või kontravariantsena (\varepsilon^{ij \cdots k}). Indeksite asukoha muutusest ei sõltu Levi-Civita sümboli väärtus ja seega võib neid vaadelda kui kahte võrdset avaldist:

\varepsilon_{ij \cdots k} = \varepsilon^{ij \cdots k} .

Selline käsitlusviis on võetud eelduseks järgnevate näidete jaoks.

Einsteini kokkulepe[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tihtipeale otsitakse Levi-Civita sümboli korrutist mingi tensori komponentidega. Sellisel juhul on vaja kõik võimalikud korrutised kokku liita, mille lihtsustamiseks on kasutusele võetud Einsteini kokkulepe. Einsteini kokkulepe ehk Einsteini summeerimisreegel on kokkulepe, tähistamaks korduvate indeksite summeerimist üle nende indeksite. Korraga võib summeerida mitu indeksipaari korraga, kuid tuleb meeles pidada, et kõikidel indeksitel oleks sama piirkond. See kehtib nii kovariantsete kui ka kontravariantsete komponentide jaoks. Summamärki \Sigma ei ole enam vaja kirjutada.

Seos Kroeneckeri deltaga[muuda | redigeeri lähteteksti]

Võttes Levi-Civita sümboli indeksiteks i, j, k, l, m, n saab kirjutada kahe Levi-Civita sümboli korrutise Kroeneckeri deltade determinandina:

\begin{align}
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} & = \begin{vmatrix}
\delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\
\delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\
\delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\
\end{vmatrix}\\
 & = \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right). 
\end{align}

Selle determinandi erijuht on:


\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}.

Vastavalt Einsteini summeerimisreeglile saab saadud avaldise kirjutada lihtsamal kujul ilma summeerimismärgita:

\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{imn} = \delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}.

Järgides seda põhimõtet saab Levi-Civita sümbolite korrutist edasi arendada:

\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijl} = 2 \delta_{kl},
\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijk} = 6.

Kahemõõtmeline[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui Levi-Civita sümbol on kahemõõtmeline, siis indeksid i, j, k ja l saavad väärtused 1 või 2.[5]

\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn} = \delta_i^n \delta_j^m
\varepsilon_{ij} \varepsilon^{in} = \delta_j^n
\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij} = 2

n-mõõtmeline[muuda | redigeeri lähteteksti]

N-mõõtmelise Levi-Civita sümboli korral saavad indeksid i1, ..., in, j1, ..., jn väärtused naturaalarvude hulgast (1, 2, ..., n).

\varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta_{[ i_1}{}^{j_1} \dots \delta_{i_n ]}{}^{j_n} = \delta^{j_1 \dots j_n}_{i_1 \dots i_n}
\varepsilon_{i_1 \dots i_k~i_{k+1}\dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k~j_{k+1}\dots j_n}= k!(n-k)!~\delta_{[ i_{k+1}}{}^{j_{k+1}} \dots \delta_{i_n ]}{}^{j_n} = k!~\delta^{j_{k+1} \dots j_n}_{i_{k+1} \dots i_n}
\varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n!

Hüüumärk (!) tähistab faktoriaali ja \delta_{\beta \cdots}^{\alpha \cdots} on üldistatud Kroeneckeri delta. Iga n jaoks kehtib järgmine omadus:


\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n! ,

mis tuleneb sellest, et

  • iga permutatsioon on kas paaris või paaritu,
  • (+1)2 = (-1)2 = 1,
  • iga n elemendilise arvurea permutatsioonide arv on n!.

Üldistatult saab n-mõõtmeliste Levi-Civita sümbolite korrutise kirjutada kujul:

 \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \dots j_n} = \begin{vmatrix}
\delta_{i_1 j_1} & \delta_{i_1 j_2} & \dots & \delta_{i_1 j_n} \\
\delta_{i_2 j_1} & \delta_{i_2 j_2} & \dots & \delta_{i_2 j_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\delta_{i_n j_1} & \delta_{i_n j_2} & \dots & \delta_{i_n j_n} \\
\end{vmatrix}.

Rakendused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Determinandid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Lineaaralgebras saab 3×3 ruutmaatriksi determinandi kirjutada Levi-Civita sümbolite abil. Tähistades maatriksi A-ga, ja maatriski komponendid aij:

\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k} .

Saadud tulemuse saab üldistada n×n maatriksi jaoks, pidades silmas Einsteini summeerimisreeglit:

 \det(\mathbf{A}) = \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1i_1} \cdots a_{ni_n} .

Vastavalt vajadusele võib Einsteini summeerimisreeglist tuleneva valemi kirjutada indeksite i ja j abil:

 \det(\mathbf{A}) = \frac{1}{n!} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} \varepsilon_{j_1\cdots j_n} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n} ,

mille saab omakorda anda veelgi üldisemate juhtude jaoks:

\varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{i_1 \, j_1} \cdots a_{i_n \, j_n} = \det(\mathbf{A}) \varepsilon_{j_1\cdots j_n} .[5]

Vektorite korrutamine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Ristkorrutis[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui a = (a1, a2, a3) ja b = (b1, b2, b3) on vektorid, mis moodustavad paremakäelise koordinaatide süsteemi üle ortonormaalse baasi ja kuuluvad hulka \mathbb{R}^3, siis nende determinant on[5]


\mathbf{a \times b} =
 \begin{vmatrix} 
 \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i a^j b^k,

mis tänu Levi-Civita sümbolile lihtsustub järgmiselt:


(\mathbf{a \times b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a^j b^k.

Jälgides Einsteini reeglit võib summeerimissümbolid kirjutamata jätta. Seega on kahe vektori ristkorrutise i komponent

 (\mathbf{a\times b})_i = \varepsilon_{ijk} a^j b^k.

Võttes i väärtuseks (1, 2, 3) saab leida kõik kolm ristkorrutise komponenti ilma, et peaks neid eraldi välja arvutama.

(\mathbf{a\times b})_1 = a^2 b^3-a^3 b^2\,
(\mathbf{a\times b})_2 = a^3 b^1-a^1 b^3\,
(\mathbf{a\times b})_3 = a^1 b^2-a^2 b^1\,

Kolme vektori segakorrutis[muuda | redigeeri lähteteksti]

Vektorite korrutamise reeglist on teada, et

\mathbf{a\times b} = -\mathbf{b\times a} .

Võttes kolmandaks vektoriks c = (c1, c2, c3), siis vektorite a, b ja c segakorrutiseks tuleb

 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b\times c}) = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k.

Siit on kerge näha, et kui vahetada ükskõik millise kahe vektori järjestus, siis muudab segakorrutis märki, ehk vektorite segakorrutis on antisümmeetriline:

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b\times c})= -\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a\times c}).

Vektorvälja rootor[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui funktsionaal F = (F1, F2, F3), mille Descartes'i koordinaadid on x = (x1, x2, x3), on vektorväli lahtisel hulgal \mathbb{R}^3, siis funktsiooni F rootori i komponent avaldub järgmiselt:[6]

 (\nabla \times \mathbf{F})^i(\mathbf{x}) = \varepsilon^{ijk}\frac{\partial}{\partial x^j} F^k(\mathbf{x}),

mis tuleneb eelpool saadud ristkorrutise avaldisest, kui võtta kasutusele gradiendi operaator nabla.

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Andrus Salupalu. Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes'i ristkoordinaadid. cens.ioc.ee, (pdf) Kasutatud 28.09.2013. (eesti)
  2. Tullio Levi-Civita. "The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors)", London: Blackie & Son Limited, 1926.
  3. Valdis Laan. Algebra I. math.ut.ee, (pdf) Kasutatud 28.09.2013. (eesti)
  4. Manabu Machida. Vector Calculations by the Levi-Civita Symbol. www-personal.umich.edu, 2012. University of Michigan (pdf) Kasutatud 28.09.2013. (inglise)
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 Ken Riley, Michael Hobson, Stephen Bence. "Mathematical methods for physics and engineering", Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3.
  6. Levi-Civita permutation symbol. www.planetmath.org, 17.03.2003. Kasutatud 30.09.2013. (inglise)