Tuletis (matemaatika)

Allikas: Vikipeedia

Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel — täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile.

Füüsikas on nihke tuletiseks aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletiseks omakorda kiirendus.

Reaalarvulise argumendiga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal.

Matemaatilise analüüsi eeskujul on tuletise mõistet mitmel viisil üldistatud teistesse matemaatika valdkondadesse. Käesolev artikkel käsitleb põhiliselt reaal- või kompleksmuutuja funktsiooni tuletist matemaatilise analüüsi tähenduses; mõiste tuletis tähenduste kohta teistes matemaatika harudes vaata alajaotust Üldistusi.

Määratlus[muuda | muuda lähteteksti]

Tuletis antud kohal[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu antud reaalarvuliste väärtustega funktsioon ning mõni reaalarv funktsiooni määramispiirkonnast. Kui leidub (lõplik või lõpmatu) piirväärtus , siis seda nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal ning tähistatakse sümboliga .

Tavaliselt määratletakse funktsiooni tuletis vaid tema määramispiirkonna sisepunktides, s. t. eeltoodud definitsiooni lisatakse veel eeldus, et on hulga sisepunkt.

Kui funktsioonil on lõplik tuletis kohal , nimetatakse funktsiooni diferentseeruvaks kohal .

Samamoodi defineeritakse tuletis ja diferentseeruvus ka kompleksmuutuja funktsiooni korral, s. t. juhul , kus .

Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised[muuda | muuda lähteteksti]

Kui funktsioon on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna punktis, öeldakse lihtsalt, et funktsioon on diferentseeruv.

Kui funktsioon on diferentseeruv, saame vaadelda tema tuletist funktsioonina .

Sellisel juhul saame uurida funktsiooni tuletiste olemasolu. Funktsiooni tuletist nimetatakse funktsiooni teist järku tuletiseks ning tähistatakse . Kui funktsioon on diferentseeruv ehk funktsioonil on kogu tema määramispiirkonnas olemas lõplik teist järku tuletis, nimetatakse funktsiooni kaks korda diferentseeruvaks.

Samamoodi, kui funktsioon on diferentseeruv, määratletakse ka funktsiooni kolmandat järku tuletis jne. Üldiselt, funktsiooni -ndat järku tuletist kohal , kus , tähistatakse .

Tähistusi[muuda | muuda lähteteksti]

Lagrange'i tähistus[muuda | muuda lähteteksti]

Eeltoodud määratluses kasutasime Joseph-Louis Lagrange'i tähistust:

- funktsiooni tuletis kohal
- teist järku tuletis
- kolmandat järku tuletis
ehk - neljandat järku tuletis
- -ndat järku tuletis ()

Leibnizi tähistus[muuda | muuda lähteteksti]

Kui muutujate ja vahel on seos , siis nii funktsiooni tuletisfunktsiooni kui ka selle väärtust kohal tähistatakse Leibnizi tähistuses .

Leibnizi tähistust põhjendab seos , kus on suuruse muut ning on vastav suuruse muut — tuletise kui funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtuse tähistamiseks asendame selles suhtes kreeka tähe delta lihtsalt talle ladina tähestikus vastava tähega .

Kõrgemat järku tuletise jaoks kasutatakse tähistust .

Newtoni tähistus[muuda | muuda lähteteksti]

Kui funktsiooni argument tähistab aega (sellisel juhul kasutatakse argumendi tähistamiseks tähe asemel enamasti tähte ), kasutatakse füüsikas sageli ka Newtoni tähistust: kui muutuja sõltuvust ajast kirjeldab seos , siis funktsiooni tuletisi tähistatakse

ja nii edasi.

Kõrgemat järku tuletiste puhul on Newtoni tähistust raske kasutada, sest paljusid täppe on tüütu kirjutada ja kokku lugeda ning puudub üldine tähistus -ndat järku tuletise jaoks, kuid paljudes füüsikaülesannetes piisab esimest ja teist järku tuletisest.

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu , sellisel juhul ja

Tuletise rakendusi[muuda | muuda lähteteksti]

Matemaatika[muuda | muuda lähteteksti]

L'Hospitali reegel[muuda | muuda lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis L'Hospitali reegel

Kui ja leidub

või ja leidub

siis kehtib võrdus

Näiteks

Taylori valem[muuda | muuda lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Taylori valem

Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:

Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni lähendamine x = 0 juures:

Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt. Kui n ≥ 0 on täisarv ja on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv lõigul [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv vahemikus (a, x), siis leidub arv nii, et

Funktsiooni uurimine[muuda | muuda lähteteksti]

Kui reaalmuutuja funktsiooni tuletis on positiivne mingis lõigus, siis funktsioon kasvab selles lõigus. Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon kahaneb antud lõigus. Funktsiooni tuletise nullkohad on funktsiooni lokaalseteks miinimum- ja maksimumkohtadeks.

Teine tuletis määrab funktsiooni graafiku "kõveruse": kui teine tuletis mingil kohal on nullist erinev, siis funktsiooni graafik asub antud punkti ümbruses selles punktis tõmmatud puutujast paremal või vasakul ("kõverdub" päripäeva või vastupäeva) ning esimese ja teise tuletise abil saab arvutada graafiku kõverusraadiuse. Kui funktsiooni teine tuletis on mingis lõigus positiivne või negatiivne, siis funktsioon on antud lõigus vastavalt kumer või nõgus. Graafiku punkte, kus funktsiooni teine tuletis on 0, nimetatakse käänupunktideks.

Füüsika[muuda | muuda lähteteksti]

Tuletis (ja matemaatiline analüüs üldiselt) on tänapäeva füüsikas asendamatu abivahend loodusnähtuste kirjeldamisel. Üks olulisi tuletise rakendusi on näiteks füüsikaliste suuruste (ajalise) muutmise kiiruse kirjeldamine ning liikumisvõrrandite kirjapanemine.

Näide: Kiirus ehk asukoha ajalise muutumise kiirus leitakse kohavektorist ajalise tuletise võtmise teel. Liikugu punkt mingis koordinaadisüsteemis sirgjooneliselt võrrandi järgi. Kiiruse leidmiseks ajahetkel võetakse liikumisvõrrandist aja järgi tuletis: . Kiiruse võrrandist omakorda tuletise võtmine annab kiiruse ajalise muutumise kiiruse ehk kiirenduse: . Näeme, et antud punkt liigub ühtlase kiirendusega.

Näide: Liikugu keha keskkonnas, mille poolt avaldatav hõõrdejõud on võrdeline keha kiirusega, st F = - k v, kus k on võrdetegur. Seega on keha liikumisvõrrand vastavalt Newtoni II seadusele

kus on kiirendus ja m on keha mass. Saadud avaldis annab hariliku diferentsiaalvõrrandi, mille lahend ütleb, kuidas keha kiirus ajas muutub.

Üldistusi[muuda | muuda lähteteksti]

Diskreetne matemaatika[muuda | muuda lähteteksti]

Loogikafunktsiooni tuletis argumendi järgi määrab loogikatingimused, milliste puhul funktsiooni väärtus on tundlik selle argumendi muutuste suhtes (kas otse- või vastandfaasis).

Näide: olgu

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]