Taylori valem

Allikas: Vikipeedia
Merge-arrow.svg See artikkel on esitatud liitmiseks artikliga Taylori rida. Lisateavet artikli arutelust

Taylori valem annab pideva funktsiooni punkti ja selle lähisümbruse lähendamiseks n-ndat järku polünoomi. Kuna summa polünoom koosneb funktsiooni tuletistest, siis saab seda leida vaid juhul, kui funktsioonil mingis punktis a on kõik tuletised kuni järguni n. Juhul, kui eksisteerib ka (n+1)-järku tuletis kohal a, siis saame leida ka jääkliikme.

Ühe muutuja funktsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:

, mis kompaktsemalt kirja panduna summa notatsiooniga omandab kuju:

Vea hinnang[muuda | muuda lähteteksti]

Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt.

Kui n ≥ 0 on täisarv ja on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv lõigul [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv vahemikus (a, x), siis leidub arv nii, et

Polünoomile jääkliikme lisamisel muutub väärtus ligikaudsest võrdseks:

Erijuhul, a = 0, saame Maclaurini valemi:

Näited[muuda | muuda lähteteksti]

Eksponentfunktsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni lähendamine x = 0 juures:

Trigonomeetrilised funktsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

Kus Bs on Bernoulli numbrid.

Mitme muutuja funktsiooni Taylori rida[muuda | muuda lähteteksti]

Taylori valem esitab reaal- või kompleksarvulise funktsiooni, mis peab olema polünoomi astme n+1'i reaal- või kompleksarvuliste väljade ümbruses differenseeruv, kahe muutuja funktsiooni binoomide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe jääkliikme summana, kus polünoomi aste on n.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]

Video icon2.png Salman Khan. CALCULUS » Taylor Polynomials : Approximating a function with a Taylor Polynomial, Jun 18, 2008. (Khan Academy). http://khanexercises.appspot.com/.+(xHTML) Kasutatud 06.03.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg
Video icon2.png David Jerison. ( 18.01 ) Single Variable Calculus, Lecture 38 : Taylor's series, Fall 2006. (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare). http://ocw.mit.edu.+(xHTML) Kasutatud 06.03.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg
Video icon2.png Joel Lewis. ( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Finding Taylor's Series. (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare). http://ocw.mit.edu.+(xHTML) Kasutatud 06.03.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg
Video icon2.png Joel Lewis. ( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series for sec(x). (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare). http://ocw.mit.edu.+(xHTML) Kasutatud 06.03.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg
Video icon2.png Christine Breiner. ( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series of a Polynomial. (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare). http://ocw.mit.edu.+(xHTML) Kasutatud 06.03.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg