Laplace'i operaator

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents.

Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujul[1]

kus on nabla-operaator ja tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja järgi.

Laplace'i operaator on oma nime saanud prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas, kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Antud võrrandi Δf = 0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks.

Laplace'i operaator eri koordinaadistikes[muuda | muuda lähteteksti]

Kahemõõtmelises ruumis[muuda | muuda lähteteksti]

Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'

Polaarkoordinaatides kehtib

Kolmemõõtmelises ruumis[muuda | muuda lähteteksti]

Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaadisüsteemides järgmine:

Ristkoordinaatides:

Silindrilistes koordinaatides:

Sfäärilistes koordinaatides:

( tähistab sfäärilist laiust ja sfäärilist pikkust).

Avaldise võib asendada samaväärse avaldisega .

N dimensioonis[muuda | muuda lähteteksti]

N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul , kus , , on Lapalace'i operaatoril kuju

kus on Laplace'i-Beltrami operaator dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.

Avaldise võib asendada samaväärse avaldisega

Laplace'i operaator diferentsiaalvõrrandites[muuda | muuda lähteteksti]

Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on:

Laplace'i võrrand:

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks.

Biharmooniline võrrand:

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks.

Poissoni võrrand:

kus g on teadaolev funktsioon.

Lainevõrrand:

kus on laine liikumise kiirus.

Difusioonivõrrand:

kus k on konstant.

Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:

kus on lainefunktsioon, on taandatud Plankci konstant, m on osakese mass ja on potentsiaalne energia.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]