Laplace'i operaator

Allikas: Vikipeedia

Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis ristkoordinaatides avaldub kujul[1]

kus on nabla-operaator ja tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja järgi.

Laplace'i operaator eri koordinaadistikes[muuda | muuda lähteteksti]

Kahes dimensioonis[muuda | muuda lähteteksti]

Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'

Polaarkoordinaatides kehtib

Kolmes dimensioonis[muuda | muuda lähteteksti]

Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaatsüsteemides järgmine:

Ristkoordinaatides:

Silindrilistes koordinaatides:

Sfäärilistes koordinaatides:

( tähistab sfäärilist laiust ja sfäärilist pikkust).

Avaldise võib asendada samaväärse avaldisega .

N dimensioonis[muuda | muuda lähteteksti]

N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul , kus , , on Lapalace'i operaatoril kuju

kus on Laplace'i-Beltrami operaator dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.

Avaldise võib asendada samaväärse avaldisega

Laplace'i operaator diferentsiaalvõrrandites[muuda | muuda lähteteksti]

Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on:

Laplace'i võrrand:

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks.

Biharmooniline võrrand:

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks.

Poissoni võrrand:

kus g on teadaolev funktsioon.

Lainevõrrand:

kus on laine liikumise kiirus.

Difusioonivõrrand:

kus k on konstant.

Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:

kus on lainefunktsioon, on taandatud Plankci konstant, m on osakese mass ja on potentsiaalne energia.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]