Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator , mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents .
Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujul[1]
Δ
=
∇
2
=
∑
i
=
1
n
∂
2
∂
x
i
2
,
{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{i}^{2}},}
kus
∇
{\displaystyle \nabla }
nabla-operaator ja
∂
/
∂
x
i
{\displaystyle \partial /\partial x_{i}}
osatuletise võtmise operaatorit muutuja
x
i
{\displaystyle x_{i}}
Laplace'i operaator on saanud nimetuse prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas , kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Selle võrrandi Δf = 0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks .
Laplace'i operaator eri koordinaadistikes [ muuda | muuda lähteteksti ] Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'
Δ
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}
Polaarkoordinaatides kehtib
Δ
f
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
f
∂
θ
2
.
{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.}
Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaadisüsteemides järgmine:
Ristkoordinaatides :
Δ
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
+
∂
2
f
∂
z
2
.
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
Silindrilistes koordinaatides :
Δ
f
=
1
ρ
∂
∂
ρ
(
ρ
∂
f
∂
ρ
)
+
1
ρ
2
∂
2
f
∂
θ
2
+
∂
2
f
∂
z
2
.
{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}
Sfäärilistes koordinaatides :
Δ
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
ϕ
2
.
{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}
(
θ
{\displaystyle \theta \ }
sfäärilist laiust ja
ϕ
{\displaystyle \phi }
sfäärilist pikkust ).
Avaldise
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
{\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)}
1
r
∂
2
∂
r
2
(
r
f
)
{\displaystyle {1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)}
N -dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul
x
=
r
θ
∈
R
N
{\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}}
r
∈
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle r\in [0,+\infty )}
θ
∈
S
N
−
1
{\displaystyle \theta \in S^{N-1}}
Δ
f
=
∂
2
f
∂
r
2
+
N
−
1
r
∂
f
∂
r
+
1
r
2
Δ
S
N
−
1
f
{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}
kus
Δ
S
N
−
1
{\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}}
Laplace'i-Beltrami operaator
N
−
1
{\displaystyle N-1}
sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator .
Avaldise
∂
2
f
∂
r
2
+
N
−
1
r
∂
f
∂
r
{\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}}
1
r
N
−
1
∂
∂
r
(
r
N
−
1
∂
f
∂
r
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}.}
Laplace'i operaator diferentsiaalvõrrandites [ muuda | muuda lähteteksti ] Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites . Neist mõned on:
Laplace'i võrrand :
Δ
f
=
0
,
{\displaystyle \Delta f=0\,,}
kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks .
Biharmooniline võrrand :
Δ
2
f
=
0
,
{\displaystyle \Delta ^{2}f=0\,,}
kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks .
Poissoni võrrand :
Δ
f
=
−
g
,
{\displaystyle \Delta f=-g\,,}
kus g on teadaolev funktsioon.
Lainevõrrand :
Δ
f
=
1
c
2
∂
2
f
∂
t
2
,
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,,}
kus
c
{\displaystyle c}
Difusioonivõrrand :
∂
f
∂
t
=
k
Δ
f
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=k\Delta f}
kus k on konstant.
Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas :
i
ℏ
∂
ϕ
∂
t
=
−
ℏ
2
2
m
Δ
ϕ
+
V
ϕ
,
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \phi +V\phi \,,}
kus
ϕ
{\displaystyle \phi }
lainefunktsioon ,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
taandatud Plankci konstant , m on osakese mass ja
V
{\displaystyle V}
potentsiaalne energia .
↑ Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)
