Helilainevõrrand

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Helilainevõrrand on füüsikas võrrand, mis kirjeldab helilaine levi keskkonnas. Helilainevõrrand on lainevõrrand ja seega on samuti teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand. Helilainevõrrand võib kirjeldada helirõhu , osakese kiiruse u, kiiruste potentsiaali või siirete potentsiaali muutusi sõltuvana asukohast x ja ajast [1].

Lineaarne homogeenne helilainevõrrand[muuda | muuda lähteteksti]

Lineaarne homogeenne ilma sumbuvuseta helilainevõrrand helirõhust avaldub kujul:

kus,

Lineaarse homogeense helilainevõrrandi tuletamine[muuda | muuda lähteteksti]

Helilainevõrrandi saab tuletada lineariseeritud olekuvõrrandist, pidevuse võrrandist ja lineariseeritud Newtoni teisest seadusest pideva keskkonna jaoks ehk lineariseeritud Euleri võrrandist.

Akustilised suurused helirõhk ja surutavus[muuda | muuda lähteteksti]

Vaatleme keskkonna ühte osakest. Antud osake hõlmab keskkonna piisavalt suurt ruumala sisaldamaks miljoneid molekule, kuid on piisavalt väike, et tema piires kõik akustilised muutujad (näiteks rõhk, tihedus, osakese siire) on ühtlase suurusega. Antud osakesel on tasakaaluolek ja sellele taskaaluolekule vastab häirimata osakese tihedus ja häirimata osakese rõhk . Helilaine keskkonnas levimisel muutub osakese rõhk ja tihedus ajas (osakese piires igal ajahetkel sama väärtusega). helilaine levimise ajal saab nende ajas muutuvate suuruste juures tähistada osakese hetkelist tihedust ja osakesele mõjuvat hetkelist rõhku . Helirõhk on vastavalt definitsioonile hetkelise- ja häirimata rõhu vahe ehk

.

Akustiline tihedus on analoogselt defineeritud hetkelise tiheduse ja häirimata tiheduse vahena. Viimasest olulisema suurusena defineeritakse surutavus , mis on akustilise tiheduse ja häirimata tiheduse suhe ehk

Olekuvõrrand akustikas[muuda | muuda lähteteksti]

Reaalseid gaase ja vedelikke ei saa enamasti lähendada ideaalse gaasiga ja seetõttu määratakse nende puhul mõõtmiste abiga isentroopsed seosed rõhu ja tiheduse muutuste vahel. Viimaseid seoseid saab esitada Taylori reana

kus häirimata oleku voolise isoentroopse kokkusurumise ja paisumise osatuletiste väärtused määratakse katseliselt. Kui häirituse suurus on piisavalt väikese amplituudiga, võib kõrgemat järku Taylori rea liikmed hüljata. Sedasi toimides saame rõhu fluktuatsioonide ja tiheduse muutuse vahel kirja panna lineaarse seose

kus suurust , nimetatakse adiabaatiliseks mahtelastsusmooduliks. Kasutade akustilise rõhu ja surutavuse definitsioone saame lineariseeritud olekuvõrrandi kirja panna seosena, mis sarnaneb Hooke'i seadusele ehk

Keskkonna pidevuse võrrand[muuda | muuda lähteteksti]

Oletades, et vaadeldava osakese ruumala on ja pindala . Osakese pinna kuju võib olla määratud vektorfunktsiooniga , mis on defineeritav kõikides pinna punktides olevate pinnanormaalide ja elementaarpindade korrutisega . Osakese massi juurdekasv ruumalas võrdub osakese pinda läbiva massi voo suurusega:

Kasutades Gauss-Ostrogradski teoreemi, mis seob vektorvälja voo läbi pinna ja pinna sisese tensorvälja saame pidevusvõrrandi parema poole kirjutada kujule

Vastavalt eeldustele võib osakese piires osakese kiiruse ja tiheduse korrutise gradienti pidada konstantseks, ning seega võib kirjutada:

Asendades viimase algsesse pidevuse võrrandisse ja jagades mõlemat poolt läbi osakese ruumalaga saame keskkonna pidevuse võrrandi kujul

Asendades hetkelise tihedused surutavuse definitsioonist ja arvestades, et häirimata tihedus muutub võrreldes surutavusega ajas aeglaselt ja surutavus osakese piires peab samuti vähe muutuma saame lineariseeritud keskkonna pidevuse võrrandi

Euleri võrrand[muuda | muuda lähteteksti]

Pidevate keskkondade jaoks on Newtoni teine seadus kirja pandav tavapärasest teistsuguse kujul. Osakese pinnale mõjuva rõhu resultandi muutus on võrdne jõuga, mis paneb osakese massiga liikuma vastava kiirendusega ehk

Kasutades jällegi Gauss-Ostrogradski teoreemi saame Euleri võrrandi parema poole kirjutada

Vastavalt eeldustele võib pideva keskkonnas osakese piires lugega gradienti rõhust konstantseks ja seega

mida asendades algsesse Euleri võrrandisse ja jagades mõlemaid pooli ruumalaga saame Euleri võrrandi viia kujule

Viimases on materiaalne tuletis kiirusest:

Tavaliselt on helilainete amplituudid väikesed. Olgu ja helilainele iseloomulikud suurused (harmoonilise laine korral periood ja lainepikkus)

Viimases on osakese siire. Kui osakese siire on lainepikkusega võrreldes väike on konvektiivne kiirendus võrreldes lokaalse kiirendusega samuti väike suurus ja Euleri võrrand lihtsustub kujule

Lineaarse helilainevõrrandi tuletuskäik

Lineaarne helilainevõrrand[muuda | muuda lähteteksti]

Võttes divergentsi lineaarsest Euleri võrrandist saame

kus on Laplace'i operaator. Järgnevalt võtame aja järgi tuletise lineaarsest pidevuse võrrandist ja arvestame, et on ajas vähe muutuv,

lineaarne olekuvõrrand lubab surutavust esitada, kui ja kuna on ajas vähe muutuv saame

kus on helikiirus, mis on defineeritud kui

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Kinsler LE, Frey AR, Coppens AB, Sanders JV. (1999). Fundamentals of Acoustics, 4th Edition. Wiley-VCH. ISBN 0-471-84789-5