Osatuletistega diferentsiaalvõrrand

Osatuletistega diferentsiaalvõrrandiks (lühidalt ODV) nimetatakse võrrandit, mis sisaldab otsitavat funktsiooni $u(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ja selle osatuletisi.

Teist järku ODV lineaarsus ja kvaasilineaarsus

Teist järku ODV

Teist järku ODV sisaldab otsitavat funktsiooni ja tema osatuletisi, kusjuures osatuletised ei ole kõrgemad kui teist järku. Üldkujul on $n$-muutuja teist järku ODV seega

$F\left(x_{1},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i},x_{k}}}\right)=0\quad i,k=1,2,\ldots ,n$

Lineaarsus ja kvaasilineaarsus

Vaatleme kahe sõltumatu muutujaga $x,y$ teist järku ODV-si. Seega nende üldkuju on

$F\left(x,y,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)=0$, kasutades tähistust ${\dfrac {\partial u}{\partial x}}=u_{x}$, ${\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}=u_{xy}$ saab viimast kompaktsemalt esitada $F(x,y,u,u_{x},u_{y},u_{xx},u_{xy},u_{yy})=0$

• Lineaarseks nimetatakse osatuletistega diferentsiaalvõrrandit, kui see on lineaarne lahendi $u$ ning selle osatuletiste suhtes. See tähendab, et osatuletised on esimeses astmes ja kordajad sõltuvad vaid sõltumatudest muutujatest $x,y$.

$a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_{1}u_{x}+b_{2}u_{y}+cu=f,$

kus $a_{ij},b_{i},c$ ja $f$ sõltuvad $(x,y)$-st.

• Kõrgemat järku tuletiste suhtes lineaarne võrrand on kujul

$a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+F(x,y,u,u_{x},u_{y})=0,$

kus $a_{ij}$ sõltuvad $(x,y)$-st.

• Kvaasilineaarse võrrandi korral sõltuvad kordajad $a_{ij}$ peale $x,y$-i ka $u$-st ja tema esimest järku osatuletistest.

Teist järku ODV kanoonilised kujud

• Elliptiline: $u_{x_{1}x_{1}}+u_{x_{2}x_{2}}+\ldots +u_{x_{n}x_{n}}=\phi$
• Hüperboolne: $u_{x_{1}x_{1}}=\sum _{i=2}^{n}u_{x_{i}x_{i}}+\phi$
• Ultrahüperboolne: $\sum _{i=1}^{m}u_{x_{i}x_{i}}=\sum _{i=m+1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}+\phi$
• Paraboolne: $\sum _{i=1}^{n-m}(\pm u_{x_{i}x_{i}})=\phi ,\,m>0$