Logaritm

Graafik, mis kujutab logaritmi alusel 2: y=log₂x

Arv x on arvu b logaritm alusel a, kui $b = a^x$ ehk arv x on astendaja (eksponent), millega arvu a astendades on tulemuseks arv b ehk

$\log_a{b} = x \, \iff \, b = a^x \ .$

Kui a ja b on positiivsed reaalarvud, siis on log_ab reaalarv. Aluse a väärtus peab olema kas $0<a<1$ või $a>1$; tavaliselt kasutatakse alustena arve 10, e või 2. Logaritmi alusel e nimetatakse naturaallogaritmiks. Logaritmid on defineeritud reaalarvudele ja kompleksarvudele.

Logaritmi omadused

$\log_a{1} = 0 \ , \quad \text{ sest }\quad a^0 = 1 \ .$

$\log_a{a} = 1 \ , \quad \text{ sest }\quad a^1 = a \ .$

log_a0 ei ole määratud kuna pole olemas sellist arvu x , mille puhul $a^x = 0$. Logaritmfunktsiooni $f(x)=log_a{x}$ graafikul on vertikaalne asümptoot $x=0$.

Logaritm korrutisest ja jagatisest

Logaritmi tähtsamaid omadusi on

$\log_a{bc}=\log_a{b}+\log_a{c}\ ,\quad \text{ sest }\quad a^m \times a^n = a^{m+n} \ ,$ kui $b = a^m$ ja $c = a^n$ .

Samuti

$\log_a{\frac{b}{c}}=\log_a{b}-\log_a{c}\ ,\quad \text{ sest }\quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \ ,$ kui $b = a^m$ ja $c = a^n$ .

Logaritm astmest

Tähtis omadus on ka astendamise taandumine korrutamiseks. Logaritmi definitsiooni kohaselt on logaritm arvust b alusel a arv, millega arvu a astendades on tulemuseks arv b:

$b = a^{\log_a{b}} \ .$

Astendades võrrandi mõlemad pooled arvuga n :

$b^n = \left(a^{\log_a{b}}\right)^n = a^{n \log_a{b}} \ ,$

ja võttes logaritmid, on tulemuseks

$\log_a \left(b^n \right) = n \log_a{b} \ .$

Logaritmi aluse vahetamine

Kalkulaatoriga töötamisel on kasulik teada, et peale olemasolevate alustega logaritmfunktsioonide (tavaliselt ln $x$ ja log $x$), saab leida logaritmi ka muudel alustel, kasutades omadust

$\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}.$

Näiteks $\log_2{5} = \frac{\log_{10}5}{\log_{10}2}.$

See tuleneb sellest, et logaritmi definitsiooni kohaselt

$b = a^x \, \iff \, x = \log_a{b}\, ,$

kuid x saab leida ka kasutades alust c :

$\log_c{b} = \log_c{a^x} = x \log_c{a} \iff \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}} = x$

kus a ≠ 1, sest log_c 1 = 0. Iga arv astmes 0 on 1.

Logaritmi rakendused

Mõned logaritmi praktilised rakendused.

• Keemias on hüdrooniumiooni H₃O⁺ (H⁺ iooni esinemine vees) keemilise aktiivsuse logaritm alusel 10 vastandväärtus tuntud kui pH. H₃O⁺ ioonide aktiivsus neutraalses vees on 10⁻⁷ mooli liitris temperatuuril 25 °C, ehk pH 7.
• Bell on mõõtühik, mis on suhte logaritm alusel 10, näiteks võimsuste ja elektripingete tasemete suhted. Seda kasutatakse telekommunikatsioonis, elektroonikas ja akustikas. Bell on nimetatud Alexander Graham Bell'i järgi. Detsibelli (0,1 belli) kasutatakse sagedamini.
• Maavärina võimsuse Richteri skaala mõõdab maavärina intensiivsust logaritmilisel skaalal.
• Spektromeetrias ja optikas mõõdetakse optilist tihedust ühikuga, mis on seotud logaritmiga.
• Astronoomias on näiv tähesuurus taevakeha näivat heledust logaritmiliselt väljendav arv, kuna silm reageerib heledusele ligikaudu logaritmiliselt.
• Psühhofüüsikas väljendab Weber–Fechneri seadus logaritmilist seost stiimuli ja taju vahel (Stevens' seadus on siiski täpsem).
• Informaatikas esinevad logaritmid seostena algoritmilises keerukuses. Näiteks N elemendi järjestamine kasutades võrdlust, võib aega võtta proportsionaalselt N × log₁₀ N. Sarnaselt kasutakse logaritme alusel 2, et väljendada andmemahtu või mälu, mis on vaja selleks, et esitada arvu kahendsüsteemis — k biti abil saab väljendada 2^k erinevat väärtust, seega iga naturaalarvu N saab väljendada kuni (log₂ N) + 1 bitiga.
• Informatsiooniteoorias kasutakase logaritme info hulga mõõtmiseks. Kui sõnumi vastuvõtjal on oodata mistahes sõnumit N võimalikust sama tõenäosusega sõnumist, siis iga sõnumiga saadud info hulk on log₂ N bitti.
• Muusikalisi intervalle mõõdetakse logaritmiliselt pooltoonidena. Kahe noodi vaheline intervall pooltoonides on logaritm alusel 2^1/12 sageduse suhtest. (Vaata ka MIDI.)

Vaata ka

• Naturaallogaritm
• Logaritmiline diferentseerimine