Eksponentfunktsioon

Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul

$\mathrm{Exp}(z) = e^z \, ,$

kus e on Euleri arv. Eksponentfunktsioon on naturaallogaritmi pöördfunktsioon.

Eksponentfunktsiooniks nimetatakse üldisemalt ka funktsiooni

$c a^z \, ,$

kus a on positiivne konstant ja c on nullist erinev kordaja.

Omadused

Olgu z ja w kompleksarvud

• $e^{z + w} = e^z e^w\, ,$
• $e^0 = 1\, ,$
• $e^z \ne 0\, ,$
• ${d \over dz} e^z = e^z \, ,$
• $\,(e^z)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z}\, .$

Juhul, kui z ja w on reaalarvud, kehtib

• $\,(e^z)^w = e^{zw}\, .$

Fromaalne definitsioon

Eksponentfunktsiooni saab tervel komplekstasandil defineerida astmereana

$e^z = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!}.$

Seda astmerida nimetatakse eksponentreaks. Seda rida saab kasutada eksponentfunktsiooni üldistamiseks juhule, kus z on ruutmaatriks või üldisemalt mõni Banachi algebra element.

Samaväärselt võib eksponentfunktsiooni defineerida

• piirväärtusena

$e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.$

• integraalvõrrandi

$x = \int_1^y {dt \over t}.$

lahendina

• või diferentsiaalvõrrandi

$\,{d \over dx} y(x) = y(x), \quad y(0) = 1$

lahendina.

Seos trigonomeetriliste funktsioonidega

Euleri valem

$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x), \,$

seob eksponentfunktsiooni trigonomeetriliste funktsioonidega.

Vaata ka

• Eksponent
• Hüperboolsed funktsioonid
• Astmefunktsioon