Astendamine

Astendamiseks nimetatakse matemaatilist tehet aⁿ kahe arvuga: arvu n nimetatakse astendajaks ehk eksponendiks ning arvu a astendatavaks ehk astme aluseks. Kui n naturaalarv, siis tähendab astendaminen võrdse teguri a korrutamist:

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n. \,$

Astendamise pöördtehted on juurimine ja logaritmimine.

Astme mõiste

Astmeks nimetatakse

• ühest suurema naturaalarvu n korral korrutist, milles on n võrdset tegurit a: $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n$
• negatiivse astendaja korral $a^{-n}={1 \over a^n}$, kui a ≠ 0
• a¹ = a
• a⁰ = 1, kui a ≠ 0
• ratsionaalarvulise astendaja korral $a^{m \over n}=\sqrt[n]{a^m}$, a > 0
• irratsionaalarvulise astendaja korral $a^s=\lim_{n \to \infty}{a^{r_n}}$, kus r_n on suvaline irratsionaalarvude jada, mille piirväärtuseks on irratsionaalarv s.

Astme omadused

1. Kui a > 0, siis iga reaalarvulise astendaja r korral ka a^r > 0
2. ${(-a)}^{2n}=a^{2n}$
3. ${(-a)}^{2n+1}=-a^{2n+1}$
4. Iga r > 0 korral 0^r = 0
5. 1^r=1

Tehted astmetega

1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liituvad a^r×a^s = a^r+s
2. Võrdsete astendajatega astmete korrutamisel astendatavad korrutatakse a^r×b^r = (ab)^r
3. Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse ${a^r \over a^s}=a^{r-s}$
4. Võrdsete astendajatega astmete jagamisel astendatavad jagatakse ${a^r \over b^r}={\left({a \over b}\right)}^r$
5. Astme astendamisel astendajad korrutatakse ${(a^r)}^s=a^{rs}$

Vaata ka

• Juur (matemaatika)
• Logaritm
• Newtoni binoomvalem
• Astmefunktsioon
• Aritmeetiline tehe