Ümbrus

Allikas: Vikipeedia
Tasandil on hulk punkti ümbruseks parajasti siis, kui sisaldab mingit ringi keskpunktiga .
Ristkülik tasandil ei ole oma nurkadele ümbruseks.

Ümbrus on matemaatiline mõiste, mis määratletakse kõige üldisemal kujul topoloogias, kuid mida kasutatakse ka teistes matemaatika harudes, näiteks matemaatilises analüüsis. Ümbrus on matemaatilises analüüsis kasutatava ε-ümbruse mõiste üldistus. Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast hulgast, kus ükskõik mis suunas saab punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata.

Definitsioon topoloogilises ruumis[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu topoloogiline ruum.

Punkti ümbrus[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu ja . Hulka nimetatakse punkti ümbruseks, kui sisaldab mingit lahtist hulka , millesse kuulub punkt .

Punkti kõigi ümbruste hulka nimetatakse selle punkti ümbruste süsteemiks. Punkti ümbruste süsteemi tähistatakse või (kui on selge, missugust topoloogiat vaatleme) .

Hulga ümbrus[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu ja . Hulka nimetatakse hulga ümbruseks, kui sisaldab mingit lahtist hulka , mis sisaldab hulka .

Seega hulk on hulga ümbrus parajasti siis, kui kõigi hulga punktide ümbrus.

Lahtine ümbrus[muuda | muuda lähteteksti]

Ümbrus ei pea ise lahtine olema. Kui on lahtine hulk, siis nimetatakse teda (punkti või hulga ) lahtiseks ümbruseks. Mõnedes allikates mõeldaksegi sõna ümbrus all aga lahtist ümbrust.

Punkti ε-ümbruse ja ümbruse definitsioon meetrilises ruumis[muuda | muuda lähteteksti]

Punkti ε-ümbrus[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu meetriline ruum, ja . Punkti -ümbruseks ehk lahtiseks keraks keskpunktiga ja raadiusega nimetatakse siis hulka .

Punkti ümbrus[muuda | muuda lähteteksti]

Iga meetrilist ruumi võime vaadelda topoloogilise ruumina (vt. alajaotust Meetriline ruum topoloogilise ruumina artiklis Topoloogiline ruum) ja nii saame meetrilises ruumis kasutada eeltoodud punkti ja hulga ümbruse definitsioone topoloogilises ruumis. Kui aga näiteks punkti ümbruse definitsioon meetrilise ruumi jaoks ilma topoloogia mõistet kasutamata lahti kirjutada, saame järgneva definitsiooni:

Olgu meetriline ruum, ja . Hulka nimetatakse punkti ümbruseks, kui sisaldab mingit lahtist kera keskpunktiga .

Lihtne on veenduda, et eeltoodud punkti ümbruse definitsioonis sõnade "lahtine kera" asendamisel sõnadega "kinnine kera" või lihtsalt sõnaga "kera" (s. o. lahtine või kinnine kera) saaksime samaväärse definitsiooni.

Reaalarvu ε-ümbruse ja ümbruse definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Arvestades, et kõigi reaalarvude hulk on meetriline ruum kaugusega , määratletakse reaalteljel punkti ε-ümbrus ja ümbrus järgnevalt:

Olgu ja . Punkti -ümbruseks nimetatakse vahemikku . Punkti ümbruseks nimetatakse iga reaalarvuhulka, mis sisaldab mingi korral punkti -ümbrust.