Analüütiline funktsioon

Allikas: Vikipeedia

Analüütiline funktsioon on funktsioon, mille saab iga punkti ümbruses esitada koonduva astmereana.[1]

Eristatakse reaalmuutuja analüütilisi funktsioone ja kompleksmuutuja analüütilisi funktsioone. Analüütilisus on kompleksmuutuja funktsioonide mõnevõrra tugevam omadus kui reaalmuutuja funktsioonide jaoks. Kompleksmuutuja funktsioon on analüütiline parajasti siis, kui see on regulaarne.

Analüütilised funktsioonid on lõpmatult diferentseeruvad. Funktsioon on analüütiline parajasti siis, kui see võrdub oma Taylori reaga iga punkti mõnes ümbruses.

Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Reaalmuutuja funktsioon ƒ on analüütiline reaalsirgel asuval lahtisel hulgal D, kui iga hulka D kuuluva punkti x0 jaoks kehtib

\begin{align}
f(x) & = \sum_{n=0}^\infty a_{n} \left( x-x_0 \right)^{n} \\
& = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots
\end{align}

kus kordajad a0, a1, ... on reaalarvud ja antud astmerida koondub funktsiooniks ƒ(x) iga punkti x korral, mis kuulub punkti x0 mõnda ümbrusesse.

Alternatiivselt võib analüütilise funktsiooni defineerida kui lõpmatult diferentseeruva funktsiooni, mille jaoks Taylori rida

 T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

igas selle funktsiooni määramispiirkonda kuuluvas punktis x0 koondub funktsiooniks ƒ(x) iga punkti x0 mõnda ümbrusesse kuuluva punkti x korral.

Öeldakse, et funktsiooni ƒ on analüütiline punktis x, kui leidub punkti x ümbrus, millel ƒ on analüütiline.

Kompleksmuutuja analüütilise funktsiooni defineerimiseks tuleb ülalantud definitsioonis asendada reaalarvud kompleksarvudega ja reaalsirge komplekstasandiga.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.