Ristkorrelatsioon

Ristkorrelatsioon (i.k cross-correlation) mõõdab matemaatiliselt signaalide sarnasust. Ristkorrelatsioon aitab tuvastada seoseid kahe signaali vahel, mis võivad olla peidetud müra, häirete või muude mõjutavate tegurite tõttu. Seda meetodit kasutatakse laialdaselt erinevates valdkondades, näiteks signaalitöötluses, inseneriteaduses, meditsiinis, majanduses ja paljudes teistes valdkondades.

Ristkorrelatsiooni tulemused väljendatakse tavaliselt korrelatsioonikordajana, mis võib varieeruda vahemikus -1 kuni 1. Kui korrelatsioonikordaja on 1, siis on signaalid identsed, kui see on -1, siis on signaalid vastupidised, kui see on 0, siis signaalidel puudub seos. Seda kasutatakse tavaliselt spetsiifiliste omaduste otsimiseks pikemast signaalist lühema signaaliga. Digitaalse signaalitöötluse puhul võib näiteks tuua pildi analüüsi. Ristkorrelatsiooni protsessi käigus liigutatakse filtrimaski, mida sageli nimetatakse kerneliks, üle uuritava pildi, mille põhjal arvutatakse välja kahe signaali erinevus kindlal hetkel. Seda informatsiooni omakorda saab kasutada kahe pildi vastavusse viimisel, mis on tehtud veidi erineva nurga alt või asendist. Leides korrelatsiooni kahe pildi vahel erinevatel nihetel, saab määrata piltide suhtelise asukoha ja viia üks pilt teisega vastavusse.

Olemuselt on ristkorrelatsioon natuke sarnane kahe signaali konvolutsiooniga, erinedes selle poolest, et ristkorrelatsiooni puhul me ei muuda algset signaali, vaid otsime kahe signaali erinevust erinevatel ajahetkedel. Finantsmaailmas kasutatakse ristkorrelatsiooni erinevate finantsvarade näiteks aktsiate, võlakirjade, ja valuutade vaheliste suhete analüüsimiseks. Näitena saab välja tuua portfooliohalduse, kus ristkorrelatsiooni kasutatakse portfoolios olevate varade hajutatuse astme mõõtmiseks. Kaasaegne portfoolio teooria kasutab portfoolio kõigi varade korrelatsiooni mõõdikut, mis aitab optimeerida eeldatavat tulu teatud riskiastmega.

Visuaalne esitus kahe signaali ristkorrelatsioonist:

Tegemist on ristkorrelatsiooni esimese sisend signaaliga.(siinus signaal)

Tegemist on ristkorrelatsiooni teise sisend signaaliga.(koosinus signaal 3 korda suurema sagedusega)

Tegemist on ristkorrelatsiooni teise sisend signaaliga.(koosinus signaal 3 korda suurema sagedusega)

Teoreetiline taust

Ristkorrelatsioon on matemaatiline tehe kahe signaali võrdlemiseks. Korrelatsioon on sarnane kahe signaali vahelisele konvolutsioonile, kuid on põhimõtteline erinevus. Kahe signaali korrelatsioon on konvolutsioon ühe signaali ja teise signaali funktsionaalse inversiooni vahel. Saadud signaali nimetatakse kahe sisendsignaali ristkorrelatsiooniks. Ristkorrelatsiooni signaali amplituud näitab, kui palju vastuvõetud signaal sarnaneb sihtsignaaliga. Korrelatsioonipiik määrab sihtmärgi asukoha. Väärib märkimist, et nii konvolutsiooni kui ka korrelatsiooni saab teostada Fourier' teisenduse rakendamisega. Seega on asjakohane selgitada konvolutsiooni ja korrelatsiooni sarnasust ja erinevust Fourier' teisenduse abil.

Reaalmuutuja t kahe kompleksfunktsiooni $f(t)$ ja $g(t)$ ristkorrelatsioon, mida tähistatakse $f\star g$, on defineeritud järgnevalt:

$$f\star g\,(t)\equiv {\overline {f}}(-t)*g(t)\,$$

kus $*$ tähistab konvolutsiooni ja ${\overline {f}}(-t)$ kaaskompleksarvu (i.k Complex conjugate) funktsioonist $f(t)$, sest teame, et konvolutsioon on defineeritud järgnevalt:

$$f*g\ =\int _{-\infty }^{\infty }{f(\tau )}g(t-\tau )\,d\tau$$

mis on ekvivalentne avaldisega $$[f\star g](\tau )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f}}(-\tau )g(t-\tau )\,d\tau$$

Kuna $\tau '\equiv -\tau$ ning $d\tau '\equiv -d\tau$ saame saame ristkorrelatsiooni valemi kirjutada järgnevalt:

$$f\star g=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f}}(\tau ')g(t+\tau ')\,(-d\tau ')$$$$=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f}}(\tau )g(t+\tau )\,(d\tau )$$

See tõestus on oluline, kuna see illustreerib, miks saame ristkorrelatsiooni tõhusalt arvutada, kasutades Fourier' teisendust. Fourier' teisendus on sageli kiirem arvutada kui otsest ristkorrelatsiooni, eriti suurte andmekogumite puhul. Konvolutsiooni teoreemi kasutades saab ristkorrelatsiooni operatsiooni teisendada sageduspiirkonnaks, tänu millele on muutub kogu protsess lihtsaks korrutuseks punktidekaupa.

Vaata ka

• Autokorrelatsioon (i.k Autocorrelation)
• Konvolutsioon
• Rist-spektrianalüüs (i.k Cross-spectrum)
• Ristkorrelatsiooni matriks (i.k Cross-correlation matrix)