Kahe muutuja funktsioon

Allikas: Vikipeedia

Funktsioon ƒ on kahe muutuja funktsioon, kui eksisteerivad hulgad X, Y ja Z nii, et

\,f \colon X \times Y \rightarrow Z \quad \mbox{ ehk }\quad f(x,y) = z\quad x\in X\quad y\in Y\quad z\in Z

kus X × Y on X ja Y otsekorrutis.

Näiteks, kui \mathbb{Z} on täisarvude hulk ja \mathbb{N}^+ on naturaalarvude hulk (v.a. null), siis \mathbb{Q} on ratsionaalarvude hulk nii, et

\mathbb{Q}=\{ \frac{m}{n}:m\in \mathbb{Z}, \quad n\in \mathbb{N^+}\}

ehk igale ratsionaalarvule vastab jagatis m/n. Iga arvupaar m ja n on kahe muutuja funktsioon hulga \mathbb{Q} suhtes.

Kahe reaalmuutuja funktsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Hulgal D on määratud kahe reaalmuutuja funktsioon z = ƒ(x,y), kui igale arvupaarile (x; y) ehk punktile P(x; y) hulgast D on mingi eeskirja \ f abil seatud vastavusse täpselt üks reaalarv \ z ning seda märgitakse nii:

z = f(x,y), \quad (x, y)\in D \quad \mbox{ehk }\quad z = f(P), \quad P\in D

kus

  • x, y on sõltumatud muutujad ehk argumendid;
  • z on funktsiooni ƒ väärtus ehk sõltuv muutuja;
  • D on funktsiooni ƒ määramispiirkond.

Funktsiooni ƒ muutumispiirkond on Z=\{z|z=f(x,y); \quad (x, y)\in D\} .

Kahe reaalmuutuja funktsiooni määramispiirkond[muuda | muuda lähteteksti]

Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest; piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks. Piirkonna punkte, mis ei asetse rajajoonel, nimetatakse piirkonna sisepunktideks.

Ainult seesmistest punktidest koosnevat piirkonda nimetatakse lahtiseks piirkonnaks. Kui aga piirkonda kuuluvad ka kõik rajapunktid, siis nimetatakse piirkonda kinniseks. Piirkonda nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C.

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Kahe muutuja funktsiooni

f(x,y) = \sqrt{1-x^2-y^2}

määramispiirkond on 1-x^2-y^2 ≥ 0 ehk x^2 + y^2 ≤ 1 .

Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega ühikulise raadiusega ringi punktide hulk xy-tasandil, kusjuures ringi keskpunkt on (0;0) ehk koordinaattelgede alguspunktis, ehk iga punkt P = (x ; y) nii, et x^2 + y^2 ≤ 1 .

Funktsiooni

\ f(x,y) = \ln (x+y)

määramispiirkond on x+y > 0 ehk y > -x. Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega punktide hulk xy-tasandil, mis jäävad sirgest y=-x ülesse.

Kahe reaalmuutuja funktsioonide tuletised[muuda | muuda lähteteksti]

Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: \ \Delta_x z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y) .

Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut y järgi: \ \Delta_y z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y) .

Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: \ \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) .

Üldjuhul \ \Delta z\neq \Delta_x z + \Delta_y z .

Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu \ \Delta_x z ja muudu \ \Delta x suhte piirväärtust \ \Delta x lähenemisel nullile:

z_x = \frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta_x z}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} .

Funktsiooni z=f(x,y) osatuletis y järgi on seega

z_y = \frac{\partial z}{\partial y}=\lim_{\Delta y\to 0} \frac{\Delta_y z}{\Delta y} = \lim_{\Delta y\to 0} \frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} .

II järku osatuletis x järgi: z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial z}{\partial x}\Big) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} .

II järku osatuletis y järgi: z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{\partial z}{\partial y}\Big) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} .

II järku segatuletised x ja y järgi: z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial z_x}{\partial y} \quad \mbox{ja} \quad z_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial z_y}{\partial x} .

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Koonuse ruumala V sõltub selle kõrgusest h ja raadiusest r :

V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}.

Funktsiooni V osatuletis r järgi on

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},

mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle raadius muutub ja kõrgus jääb muutumatuks. Osatuletis h järgi on

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3},

mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle kõrgus muutub ja raadius jääb muutumatuks.

Teoreem segatuletistest[muuda | muuda lähteteksti]

Kui funktsioon z = f(x, y) ja tema osatuletised z_x ,\quad z_y,\quad z_{xy}\quad ja \quad z_{yx} on punktis P (x; y) ning selle mingis ümbruses määratud ja pidevad, siis selles punktis

\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}

Kahe reaalmuutuja funktsiooni ekstreemumid[muuda | muuda lähteteksti]

Kahe muutuja funktsioonil z = f(x, y) on punktis P_0(x_0,y_0) lokaalne maksimum, kui \ f(x_0,y_0) > f(x,y) kõigi punktile P_0 küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x,y) korral.

Kahe muutuja funktsioonil z = f(x, y) on punktis P_0(x_0,y_0) lokaalne miinimum, kui \ f(x_0,y_0) < f(x,y) kõigi punktile P_0 küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide (x,y) korral.

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Funktsioonil z=f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2-1 on miinimun punktis P_0(1;2), kuna

\ f(1;2)=-1 ning (x-1)^2>0 , kui x≠1 ja (y-2)^2>0 , kui y≠2 ja seetõttu (x;y)(1;2) , siis f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2-1>-1=f(1;2).

Ekstreemumi piisavad tingimused[muuda | muuda lähteteksti]

A:=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\quad B:=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2},\quad C:=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} on funktsiooni z=f(x,y) teist järku tuletised punktis P_0(x_0,y_0).

Olgu mingis punktis P_0(x_0,y_0) funktsiooni f(x,y) osatuletised kuni kolmanda järguni (k. a.) pidevad ja olgu punkt P_0(x_0,y_0) funktsiooni f(x,y) statsionaarne punkt, s.t.

\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y} = 0 .

Siis punktis P_0(x_0,y_0) :

  • on funktsioonil f(x,y) lokaalne maksimum, kui AB-C^2 > 0 ja A < 0;
  • on funktsioonil f(x,y) lokaalne miinimum, kui AB-C^2 > 0 ja A > 0;
  • ei ole funktsioonil f(x,y) ei maksimumi ega miinimumi, kui AB-C^2 < 0;
  • küsimus jääb lahtiseks kui AB-C^2 = 0.

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Funktsiooni z=x^2-xy+y^2+3x-2y lokaalsete ekstreemumite leidmine.

Esimest järku osatuletised on \frac{\partial z}{\partial x}=2x-y+3 ,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-x+2y-2 .

Võrrandisüsteemi \begin{cases} 2x-y+3 = 0\\ -x+2y-2 = 0 \end{cases} lahendid on x=-\frac{4}{3} ; \quad y=\frac{1}{3} .

Seega on funktsiooni z=x^2-xy+y^2+3x-2y statsionaarseks punktiks P_0\Big(-\frac{4}{3} ;\frac{1}{3}\Big) .

Teist järku tuletised selles punktis on A=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=2,\quad B=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2,\quad C=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=-1 .

AB-C^2 = 2\cdot 2 -(-1)^2=4-1=3

Kuna AB-C^2 > 0 ja A > 0 siis on punkt P_0\Big(-\frac{4}{3} ;\frac{1}{3}\Big) funktsiooni z=x^2-xy+y^2+3x-2y miinimumpunkt.

Funktsiooni z=x^2-xy+y^2+3x-2y lokaalseks miinimumiks on z_{min} = -\frac{4}{3} .

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]