Kahe muutuja funktsioon

Allikas: Vikipeedia

Funktsioon ƒ on kahe muutuja funktsioon, kui eksisteerivad hulgad , ja nii, et

kus × on ja otsekorrutis.

Näiteks, kui on täisarvude hulk ja on naturaalarvude hulk (v.a. null), siis on ratsionaalarvude hulk nii, et

ehk igale ratsionaalarvule vastab jagatis . Iga arvupaar m ja n on kahe muutuja funktsioon hulga suhtes.

Kahe reaalmuutuja funktsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Hulgal on määratud kahe reaalmuutuja funktsioon z = ƒ(x,y), kui igale arvupaarile (x; y) ehk punktile P(x; y) hulgast on mingi eeskirja abil seatud vastavusse täpselt üks reaalarv ning seda märgitakse nii:

kus

  • x, y on sõltumatud muutujad ehk argumendid;
  • z on funktsiooni ƒ väärtus ehk sõltuv muutuja;
  • on funktsiooni ƒ määramispiirkond.

Funktsiooni ƒ muutumispiirkond on

Kahe reaalmuutuja funktsiooni määramispiirkond[muuda | muuda lähteteksti]

Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest; piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks. Piirkonna punkte, mis ei asetse rajajoonel, nimetatakse piirkonna sisepunktideks.

Ainult seesmistest punktidest koosnevat piirkonda nimetatakse lahtiseks piirkonnaks. Kui aga piirkonda kuuluvad ka kõik rajapunktid, siis nimetatakse piirkonda kinniseks. Piirkonda nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C.

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Kahe muutuja funktsiooni

määramispiirkond on ≥ 0 ehk ≤ 1 .

Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega ühikulise raadiusega ringi punktide hulk xy-tasandil, kusjuures ringi keskpunkt on (0;0) ehk koordinaattelgede alguspunktis, ehk iga punkt nii, et ≤ 1 .

Funktsiooni

määramispiirkond on > 0 ehk > . Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega punktide hulk xy-tasandil, mis jäävad sirgest ülesse.

Kahe reaalmuutuja funktsioonide tuletised[muuda | muuda lähteteksti]

Kahe muutuja funktsiooni osamuut järgi:

Kahe muutuja funktsiooni osamuut järgi:

Kahe muutuja funktsiooni täismuut:

Üldjuhul

Funktsiooni osatuletiseks järgi nimetatakse vastava osamuudu ja muudu suhte piirväärtust lähenemisel nullile:

Funktsiooni osatuletis järgi on seega

II järku osatuletis järgi:

II järku osatuletis järgi:

II järku segatuletised ja järgi:

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Koonuse ruumala V sõltub selle kõrgusest h ja raadiusest r :

Funktsiooni V osatuletis r järgi on

mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle raadius muutub ja kõrgus jääb muutumatuks. Osatuletis h järgi on

mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle kõrgus muutub ja raadius jääb muutumatuks.

Teoreem segatuletistest[muuda | muuda lähteteksti]

Kui funktsioon ja tema osatuletised on punktis P (x; y) ning selle mingis ümbruses määratud ja pidevad, siis selles punktis

Kahe reaalmuutuja funktsiooni ekstreemumid[muuda | muuda lähteteksti]

Kahe muutuja funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui kõigi punktile küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide korral.

Kahe muutuja funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui kõigi punktile küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide korral.

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Funktsioonil on miinimun punktis kuna

ning , kui x≠1 ja , kui y≠2 ja seetõttu , siis .

Ekstreemumi piisavad tingimused[muuda | muuda lähteteksti]

on funktsiooni teist järku tuletised punktis .

Olgu mingis punktis funktsiooni osatuletised kuni kolmanda järguni (k. a.) pidevad ja olgu punkt funktsiooni statsionaarne punkt, s.t.

Siis punktis  :

  • on funktsioonil lokaalne maksimum, kui ja ;
  • on funktsioonil lokaalne miinimum, kui ja ;
  • ei ole funktsioonil ei maksimumi ega miinimumi, kui ;
  • küsimus jääb lahtiseks kui .

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite leidmine.

Esimest järku osatuletised on

Võrrandisüsteemi lahendid on

Seega on funktsiooni statsionaarseks punktiks

Teist järku tuletised selles punktis on

Kuna ja siis on punkt funktsiooni miinimumpunkt.

Funktsiooni lokaalseks miinimumiks on

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]