Mine sisu juurde

Laplace teisendus

Allikas: Vikipeedia

Laplace'i teisendus on funktsiooni integraalteisendus, mis teisendab ajadomeeni funktsiooni , kus muutuja Laplace'i sagedusdomeeni funktsiooniks , kus s on kompleksarv , on reaalosa ning imaginaarosa. [1] Kõnealune teisendus on nimetatud Laplace’i teisenduseks prantsuse matemaatiku, füüsiku ja astronoomi Pierre-Simon Laplace’i (1749−1827) auks, kes kasutas seda teisendust esmakordselt oma tõenäosusteooria alases töös aastal 1782.[2]

Laplace'i teisendus on tööriist, mida kasutatakse palju inseneriteaduses. Dünaamilist juhtimissüsteemi, olgu see siis elektriline, mehaaniline, termiline, hüdrauliline jne, saab esitada diferentsiaalvõrrand<iga. Süsteemi diferentsiaalvõrrand tuletatakse süsteemi reguleerivate füüsikaliste seaduste järgi. Süsteemi kirjeldava diferentsiaalvõrrandi lahendamise hõlbustamiseks teisendatakse võrrand algebralisele kujule. See teisendus tehakse Laplace'i teisendustehnika abil. [3] Laplace'i pöördteisenduse abil saab teisendada sagedusdomeeni funktsiooni tagasi ajadomeeni funktsiooniks. [4] Laplace'i teisendust kasutatakse palju juhtimissüsteemides ja robootikas, samuti signaalitöötluses ja elektroonikas.

Laplace'i teisendamisel tehtavad sammud

Definitsioon

[muuda | muuda lähteteksti]

Teisendust kujul


mis seab funktsioonile vastavusse funktsiooni , nimetatakse funktsiooni Laplace’i teisenduseks.

Kui eksisteerib lõplik piirväärtus

,

siis integraal

koondub ja funktsioonil on olemas Laplace'i teisendus, vastasel juhul integraal hajub ja funktsioonil ei ole Laplace'i teisendust.[5]

Oluline on tähele panna, et Laplace'i teisendus on defineeritud ainult korral. [6]

Laplace'i teisendus eksisteerib ainult teatud funktsioonide klassil ja sellesse klassi kuuluvaid funktsioone nimetatakse originaalideks. Funktsiooni nimetatakse originaaliks, kui see rahuldab järgmisi tingimusi:

Tükiti pideva funktsiooni graafik.

1. Funktsioon on tükiti pidev lõigus [], kui leidub lõplik jaotus osalõikudeks punktidega , nii, et igas vahemikus () on funktsioon pidev ja punktid , , on funktsiooni katkevuspunktideks. Funktsioon on tükiti pidev poollõigus [), kui ta on iga korral tükiti pidev lõigus [].

2. Funktsioon on eksponentsiaalse kasvuga poollõigus [), kui leiduvad konstandid ja nii, et iga korral

. [5] [4]

Allpool on välja toodud mõned Laplace'i teisenduse omadused. [7]

Olgu meil funktsioonid ja , millel leiduvad vastavad Laplace'i teisendused ja . Teisendustele rakenduvad järgmised omadused:

1. Lineaarsus.

;


2. Diferentseerimine.

3. Integreerimine.

4. Korrutamine.

5. Konvolutsioon.


Põhifunktsioonide teisendus

[muuda | muuda lähteteksti]
Laplace'i teisendus integraalina , kus , ning joonealune pindala on ning Laplace'i teisendus kujul . Graafikul on näha, et punkti koordinaatideks on .

Järgnev tabel näitab kõige levinumate funktsioonide Laplace'i teisendusi. [8]

Laplace'i teisendused
Funktsioon Laplace'i teisendus
,
  1. Thibault, Kim. "Laplace Transform: A First Introduction". mathvault.ca. Vaadatud 17. aprill 2022.
  2. Jõgi, Aksel (2003). Integraalteisendused. Tallinn: TTÜ kirjastus. Lk lk 319−331.
  3. "Laplace Transform Table, Formula, Examples & Properties". Vaadatud 18. aprill 2022.
  4. 4,0 4,1 "Inverse Laplace Transforms". Vaadatud 18. aprill 2022.
  5. 5,0 5,1 Laanemaa, Anna Marita. "Laplace'i teisenduse kasutamine diferentsiaalvõrrandite lahendamisel". Vaadatud 17. aprill 2022.
  6. Anderson, Tim. "Laplace Transforms". Vaadatud 29. mai 2022.
  7. "Laplace Transforms Properties". Vaadatud 18. aprill 2022.
  8. Weisstein, Eric W. "Laplace Transform". mathworld.wolfram.com. Vaadatud 18. aprill 2022.