Kuldlõige

Allikas: Vikipeedia
Kuldlõike suhtarv φ
Kahendsüsteemis 1,1001111000110111011...
Kümnendsüsteemis 1,6180339887498948482...
Kuueteistkümnendsüsteemis 1,9E3779B97F4A7C15F39...
Ahelmurd 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}}
Algebraline kuju \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Kuldlõige (ka jumalik proportsioon, kuldne lõige, kuldne suhe) tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks osaks, et suurem osa oleks kogu lõigu ja selle väiksema osa keskmine võrdeline (geomeetriline keskmine).

Seda suhet saab väljendada matemaatilise konstandiga \varphi (fii), mis on irratsionaalarv järgmise ligikaudse väärtusega:

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx 1,61803\,39887\,.

Seda konstanti nimetatakse kuldlõike suhtarvuks.

Arvutamine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Lõigu a suhe b-sse on nagu a+b suhe a-sse.
Kuldlõike konstrueerimine

Kaks positiivset arvu a ja b on kuldlõikes \varphi, kui

 \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.

See võrrand defineerib üheselt  \varphi\, . Parempoolne võrrand näitab, et a=b\varphi, ning saab teha asenduse vasakpoolses osas, saades

\frac{b\varphi+b}{b\varphi}=\frac{b\varphi}{b}\,.

Taandades b, saame tulemuseks

\frac{\varphi+1}{\varphi}=\varphi.

Võrrandi mõlema poole korrutamine \varphi-ga ning liikmete ümberpaigutamine annab:

\varphi^2 - \varphi - 1 = 0.

Selle ruutvõrrandi ainus positiivne lahend on

\varphi = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1,61803\,39887\, ...

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

  • Kuldlõige rahuldab positiivsete reaalarvude hulgas unikaalset samasust
 :\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1

Fibonacci jada[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Fibonacci jada

Fibonacci jada algab arvudega 0 ja 1 ning ülejäänud liikmed leitakse rekursiivselt kahe eelneva liikme summast. Jada esimesed liikmed on 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ... . Saab näidata, et Fibonacci jada liikme jagatis sellele vahetult eelneva liikmega läheneb kuldlõikele, kui piki jada edasi liikuda. Seega käitub Fibonacci jada asümptootiliselt kui geomeetriline jada, mille teguriks on kuldlõige.

Fibonacci jada ja kuldlõike vaheline tihe seos väljendub samuti asjaolus, et Fibonacci jada liige f_{n} kohal n on esitatav kujul

f_{n} = \frac{\varphi^{n} - (-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^{n} - (1-\varphi)^{n}}{\sqrt{5}},

kus \varphi on kuldlõige.

Esteetika[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kuldlõige on loodusest sageli leitav suhe. Nii on näiteteks päevalill ja inimese keha kuldlõikes[1] . Ja seepärast pole mingi ime, et seda hakati kasutama mujal. Renessansi aegadest saati on paljude kunsti ja arhitektuuri teoste kavandamisel lähtutud kuldlõikest. Kasutati seda küll tunduvalt varem – näiteks juba Egiptuse püramiidide puhul. Antiikajast tuntud ehitisest kasutati kuldlõiget näiteks Parthenoni juures. Hilisemast ajast on tuntumad kuldlõiget kasutavad teosed arhitektuuris Notre Dame'i katedraal, kunstis Leonardo da Vinci "Vitruviuse mees" ning "Püha õhtusöömaaeg". Ka Stradivariuse viiulid on kuldlõikes. Tänapäeval andis kuldlõikele müstilise varjundi Dan Brown oma "Da Vinci koodiga".

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Tim Glynne-Jones, The Book of Numbers, lk 16-19, Arcturus, 2008, ISBN 978-0-572-03331-6