Ruutvõrrand

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Ruutvõrrandi lahendid on ruutfunktsiooni nullkohad.

Ruutvõrrand on algebraline võrrand üldkujuga

,

kus on tundmatu ning , ja on arvud, kusjuures .

Ruutvõrrandi lahendivalem on

.

Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandil on reaalarvude hulgas alati kas kaks erinevat, kaks kokkulangevat või mitte ühtegi lahendit. Geomeetrilises tõlgenduses asuvad ruutvõrrandi lahendid kohtadel, kus ruutfunktsiooni graafik lõikab -telge.

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Ruutvõrrand on võrrand kujul

,

kus on tundmatu ehk otsitav ning , ja on antud arvud, kusjuures . Võrrandi vasaku poole avaldises on ruutliige ehk pealiige, lineaarliige ja vabaliige. Arvud , ja on ruutvõrrandi kordajad, sealhulgas on ruutliikme kordaja ja lineaarliikme kordaja.

Näiteks on ruutvõrrand, kus , ja .

Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on . Taandatud ruutvõrrandi kuju on

.

Iga ruutvõrrandi saab teisendada samaväärseks taandatud ruutvõrrandiks, jagades võrrandi pooled läbi ruutliikme kordajaga. Et ruutliikme kordaja erineb nullist, siis on see alati võimalik. Ruutvõrrandit, mille ruutliikme kordaja ei ole , nimetatakse taandamata ruutvõrrandiks.

Näiteks on taandatud ruutvõrrand, seevastu on taandamata ruutvõrrand, sest selles on ruutliikme kordaja .

Täielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille kõik kordajad on nullist erinevad. Mittetäielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille mõni kordaja on null. Mittetäielikus ruutvõrrandis võib null olla kas lineaarliikme kordaja, vabaliikme kordaja või mõlemad. Vastavalt sellele on mittetäielikul ruutvõrrandil kolm võimalikku kuju: , või .

Ruutvõrrandi lahend on tundmatu iga selline väärtus, millega tundmatut väärtustades võrrand kehtib. Näiteks ruutvõrrandi lahend on , sest . Samuti on selle ruutvõrrandi lahend , sest .

Ruutvõrrand on teist järku algebraline võrrand, mis tähendab, et võrrandi vasak pool on polünoom, mille aste on . Seda polünoomi nimetatakse ka ruutpolünoomiks ehk ruutkolmliikmeks.

Lahendivalem[muuda | muuda lähteteksti]

Üldkujuline ruutvõrrand[muuda | muuda lähteteksti]

Üldkujulise ruutvõrrandi lahendid saab leida valemist

.

See valem annab kaks lahendit ja , millest ühe arvutamisel valitakse valemi lugejas märk , teise arvutamisel aga .

Näiteks ruutvõrrandi lahendid on

,

seega ja .

Lahendivalemi tuletamiseks lähtume võrdusest

.

Viime paremale poole:

.

Korrutame pooli suurusega :

.

Liidame mõlemale poolele :

.

Vasaku poole saame nüüd kirjutada täisruuduna:

.

Järelikult

,

millest avaldame otsitava :

.

Taandatud ruutvõrrand[muuda | muuda lähteteksti]

Taandatud ruutvõrrandi lahendid saab leida valemist

.

Näiteks võrrandi lahendid on

,

millest ja .

Taandatud ruutvõrrandi lahendivalem järeldub vahetult üldkujulise ruutvõrrandi lahendivalemist, kui seal panna , ja asemele vastavalt taandatud ruutvõrrandi kordajad , ja ning viia nimetaja juuremärgi alla.

Diskriminant[muuda | muuda lähteteksti]

Ruutfunktsiooni graafiku lõikumine -teljega sõltuvalt diskriminandi märgist.

Ruutvõrrandi lahendivalemis ruutjuure märgi all olevat avaldist

nimetatakse selle ruutvõrrandi diskriminandiks.

Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi erinevate reaalarvuliste lahendite arv sõltub diskriminandi märgist.

  • Kui , siis on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist lahendit ja .
  • Kui , siis on võrrandil kaks kokkulangevat reaalarvulist lahendit .
  • Kui , siis võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole.

Diskriminandi märgi järgi saab kindlaks teha reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi reaalarvuliste lahendite arvu ilma võrrandit lahendamata. Näiteks võrrandil puuduvad reaalarvulised lahendid, sest . Ruutvõrrandil leidub reaalarvulisi lahendeid kindlasti siis, kui ja on erineva märgiga, sest sel juhul on diskriminant kindlasti positiivne.

Geomeetriliselt vastavad ruutvõrrandi lahenditele ruutfunktsiooni lõikepunktid -teljega. Kui ruutvõrrandi diskriminant on positiivne, siis lõikab ruutfunktsiooni graafik -telge kahes erinevas punktis, nulliga võrduva diskriminandi puhul puutub graafik -telge ühes punktis ning negatiivse diskriminandi puhul graafikul lõikepunkte -teljega pole.

Ruutkolmliikme tegurdatud kuju[muuda | muuda lähteteksti]

Arv on ruutvõrrandi lahend parajasti siis, kui avaldis on avaldise tegur. Siit järeldub, et kui ja on ruutvõrrandi lahendid, siis esitub ruutkolmliige lineaartegurite korrutisena

.

Kui ruutvõrrand on taandatud, siis on sellel võrdusel kuju

.

Need võrdused kehtivad ka juhul .

Kui on teada ruutkolmliikme tegurdatud kuju, siis saab sellest otse välja lugeda ruutvõrrandi lahendid. Näiteks teades, et , võime järeldada, et ruutvõrrandi lahendid on ja .

Viète'i valemid[muuda | muuda lähteteksti]

Üldkujulise ruutvõrrandi lahendid ja rahuldavad võrdusi

,
.

Taandatud ruutvõrrandi lahendid ja rahuldavad võrdusi

,
.

Need valemid avastas 16. sajandil prantsuse matemaatik François Viète, kelle järgi nad on ka nime saanud.

Kehtib ka vastupidine: kui ja rahuldavad nimetatud võrdusi, siis on need arvud vastava ruutvõrrandi lahendid.

Viète'i valemid järelduvad vahetult ruutpolünoomi esitusest lineaartegurite korrutisena, kui seal sulud lahti korrutada. Nimelt, kui ja on ruutvõrrandi lahendid, siis

.

Et kaks polünoomi on võrdsed parajasti siis, kui vastavate liikmete kordajad on võrdsed, siis saame esimeses ja viimases avaldises lineaarliikmeid ja vabaliikmeid võrreldes seosed ja . Nendest tulenevad Viète'i valemid üldkujulise ruutvõrrandi jaoks. Viète'i valemid taandatud ruutvõrrandi jaoks saame erijuhul , , .

Praktikas võimaldavad Viète'i valemid ruutvõrrandi lahendite õigsust kontrollida. Samuti aitavad nad mõnel juhul võrrandit peast lahendada. Näiteks ruutvõrrandi lahendamisel on vaja leida arvud ja , mille puhul ja . Need arvud on ja .

Viète'i valemite abil saab lihtsasti leida ruutfunktsiooni graafiku haripunkti. Et graafik on sümmeetriline haripunkti läbiva vertikaalsirge suhtes, siis on haripunkti -koordinaat ruutvõrrandi lahendite aritmeetiline keskmine:

.

Haripunkti -koordinaadi saame seejärel arvutada ruutfunktsiooni väärtusena leitud argumendil:

.

Viimaste valemite lõppkujud kehtivad olenemata sellest, mitu reaalarvulist lahendit ruutvõrrandil on. Haripunkti koordinaatide teadmine on mõnikord kasulik ruutfunktsiooni graafiku joonestamisel.

Viète'i valemeid saab üldistada ükskõik millise astmega polünoomi juhule.

Kompleksarvulised lahendid[muuda | muuda lähteteksti]

Kui reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne, siis võrrandil puuduvad reaalarvulised lahendid, aga on olemas kompleksarvulised lahendid. Kui , siis ruutvõrrandi lahendivalemis on , kus on imaginaarühik, ning üldkujulise ruutvõrrandi lahendid avalduvad valemiga

.

Need lahendid on teineteise kaaskompleksid.

Näiteks võrrandi puhul on . Võrrandi lahendid on seega

.

Lahendite järgi saab vasaku poole esitada lineaartegurite korrutisena, ülaltoodud näites

.

Lahendamismeetodid[muuda | muuda lähteteksti]

Kuigi iga ruutvõrrandit saab lahendada lahendivalemi abil, on teinekord otstarbekam kasutada mõnda muud meetodit, mis nõuab vähem arvutustööd.

Erikujulised võrrandid[muuda | muuda lähteteksti]

Mittetäieliku ruutvõrrandi lahendeid on võimalik leida võrrandi teisendamise teel.

  • Võrrandi viime kujule , millest . Järelikult võrrandi lahendid on ja .
  • Võrrandi viime kujule . Järelikult võrrandi lahendid on ja .
  • Võrrandi lahendid on .

Mõnikord kehtib võrrandi kordajate vahel seos, mille alusel saab võrrandi lahendid otse välja kirjutada. Levinuimad nendest seostest on järgmised.

  • Võrrandi kordajate summa on null. Sellise võrrandi lahendiks on , sest asetades selle võrrandisse, saame võrduse . Teine lahend on Viète'i valemite põhjal . Seega võrrandi lahendid on ja , võrrandi lahendid aga ja .
  • Võrrandi lineaarliikme kordaja võrdub kahe ülejäänud kordaja summaga. Sellise võrrandi lahendiks on , sest asetades selle võrrandisse, saame ehk . Teine lahend on Viète'i valemite põhjal . Näiteks võrrandi lahendid on ja .

Viimaseid seoseid saab üldistada ka kõrgemat järku võrranditele.

Ruutkolmliikme tegurdamine[muuda | muuda lähteteksti]

Vaatleme kõigepealt taandatud ruutvõrrandit . Tegurdamismeetodi puhul püütakse lahutada võrrandi vasak pool lineaartegurite korrutiseks ja viia võrrand kujule . Et kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks tegur on null, peab olema või . Seega üks lahend on ja teine lahend .

Näiteks ruutvõrrandi lahendamiseks lahutame vasaku poole teguriteks: . Siit saame võrrandi lahendid ja .

Sobivat teguriteks lahutust aitab otsida asjaolu, et arvude ja summa võrdub arvuga ja korrutis arvuga . Seda näeme sulge avades: .

Tegurdamismeetodit kasutatakse valdavalt olukorras, kus võrrandi kordajad ja on täisarvud. Kui täisarvuliste kordajatega taandatud ruutvõrrandil leidub lahendeid ratsionaalarvude seas, siis on need lahendid samuti täisarvud. Seega võime sobivate ja leidmiseks lahutada võrrandi vabaliikme kõikvõimalikel viisidel kahe täisarvu korrutiseks ja kontrollida, kas nende arvude summa on . Näiteks võrrandi puhul vaatame läbi arvu teguriteks lahutused , jne, kuni leiame lahutuse , mille tegurite summa on . Kui ükski variant vajalikku summat ei anna, siis võrrandil täisarvulisi ega üldse ratsionaalarvulisi lahendeid ei ole. Sel juhul on võrrandi lahendid irratsionaalarvud (või kompleksarvud).

Üldkujulise ruutvõrrandi lahendamiseks püütakse võrrand esitada kujul . Siit või . Ruutvõrrandi lahendid on ja .

Üldkujulise ruutvõrrandi saab teisendada tegurdamiseks sobivamaks taandatud ruutvõrrandiks kordaja üleviimise võttega. Lähtume võrrandist

ja korrutame mõlemat poolt ruutliikme kordajaga :

.

Toome sisse uue muutuja ning kirjutame võrrandi taandatud ruutvõrrandina

.

Saadud ruutvõrrand erineb esialgsest võrrandist ainult selle poolest, et ruutliikme kordaja on üle läinud vabaliikmesse. Selle võrrandi lahendamisel saame lahendid ja . Lähtevõrrandi lahendid on ja .

Arvu kõik lahutused täisarvude korrutiseks, kus tegurite järjekord pole oluline.

Kui lähtevõrrandi kordajad , ja on täisarvud, siis on ka saadud taandatud ruutvõrrandi kordajad täisarvud. Seetõttu piisab täisarvuliste lahendite leidmiseks vaadelda arvu teguriteks lahutusi. Kui lähtevõrrandi kordajad on ratsionaalarvud, siis saame need teisendada täisarvudeks, korrutades võrrandi pooli kordajate nimetajate vähima ühiskordsega.

Lahendame näiteks võrrandi . Kirjutame võrrandi uue tundmatu kaudu: . Vaatleme vabaliikme teguriteks lahutusi ja proovime leida sellise lahutuse, kus tegurite summa on . Näeme, et ei sobi, ei sobi, aga sobib. Järelikult . Seega uue võrrandi lahendid on ja ning esialgse võrrandi lahendid ja .

Tegurdamismeetod ei nõua ruutjuure arvutamist, kuid võimaldab efektiivselt lahendada ainult piiratud hulka võrrandeid.

Täisruuduks täiendamine[muuda | muuda lähteteksti]

Täisruuduks täiendamise meetodi idee on haarata ruutvõrrandi ruutliige ja lineaarliige täisruuduks teiseneva avaldise koosseisu, kasutades ära summa ruudu valemit . Sellega saadakse võrrand, mis sisaldab tundmatut ainult üks kord ning seda on võimalik otseste teisendustega avaldada.

Avaldise täiendamiseks täisruuduks tuleb talle liita .

Taandatud ruutvõrrandi lahendamiseks rakendame järgmisi samme.

  1. Viime vabaliikme paremale poole.
  2. Liidame võrrandi mõlemale poolele sellise arvu, et vasakule jääks avaldis kujul . Et peab kehtima , siis liidetav arv on .
  3. Kirjutame vasaku poole kujul .
  4. Leiame mõlemast poolest ruutjuure ja avaldame .

Illustreerime seda lahendamiskäiku võrrandi puhul. Kirjutame võrrandi kujul

.

Vasak pool on täisruudu avaldise algus. Et lineaarliikme kordaja peab olema , siis . Järelikult . Liidame selle mõlemale poolele:

.

Vasaku poole saame esitada täisruuduna:

.

Järelikult

.

Seega ehk ja .

Avaldis esitub ruutude vahena .

Täisruuduks täiendamise meetodil on ka teine variant, mille puhul viime kõigepealt vabaliikme paremale poolele ja võtame vasakul ühise teguri sulgude taha: . Nüüd avaldame vasakul teguri avaldiste ja summana, teguri aga nende vahena. Seejärel kasutame ruutude vahe valemit . Nii tekib jällegi võrrand, kust on vahetult leitav.

Näiteks võrrandi viime kujule

.

Vasakul esitame ja . Järelikult

.

Ruutude vahe valemi põhjal saame

.

Seega , millest ning .

Üldkujulise ruutvõrrandi saab ruutliikme kordajaga jagamise teel teisendada taandatud ruutvõrrandiks . Seejärel võime rakendada eelnevas esitatud võtteid. Teine võimalus on korrutada üldkujulise ruutvõrrandi pooli ruutliikme kordajaga ning ülaltooduga analoogiliste sammude abil tekitada vasakule poolele avaldis .

Täisruuduks täiendamise meetod võimaldab lahendada ükskõik millist ruutvõrrandit. Selle abil saab tuletada ka ruutvõrrandi lahendivalemit.

Lahendivalemi kasutamine[muuda | muuda lähteteksti]

Ruutvõrrandi lahendivalemi

kasutamine on universaalne meetod ruutvõrrandi lahendite leidmiseks ja seda saab rakendada seal, kus teised meetodid tulemust ei anna (näiteks ruutkolmliige pole täisarvudes tegurdatav) või nõuavad liiga palju tööd (näiteks võrrandi kordajad on murdarvud). Samuti kasutatakse lahendivalemit siis, kui ruutvõrrandi lahendamist on vaja programmeerida.

Peale tavapärase valemi on olemas veel ka teine lahendivalem

,

mis järeldub esimesest Viète'i valemite abil: ruutvõrrandi lahendid ja saab avaldada ka vastavalt kujul ja . Teise lahendivalemi eelis on see, et juhul , , kui ruutvõrrand muutub lineaarvõrrandiks, saame üheks lahendiks selle lineaarvõrrandi lahendi, samas kui tavapärane valem annab sellisel juhul nulliga jagamise. Teise lahendivalemi puudus on see, et ta ei võimalda arvutada ühte lahendit ruutvõrrandite puhul, kus .

Teist lahendivalemit kasutatakse mõnede arvutusmeetodite koosseisus, mis peavad arvestama, et lahendatava ruutvõrrandi ruutliikme kordaja võib olla võrrandi ülejäänud kordajatega võrreldes absoluutväärtuselt väga väike või lausa null. Üks selline on näiteks Mulleri meetod.

Geomeetriline lahendamine[muuda | muuda lähteteksti]

Geomeetriline lahendamine tähendab ruutvõrrandi lahendite konstrueerimist sirkli ja joonlaua abil. Jagades vajadusel ruutvõrrandi läbi ruutliikme kordajaga, võime eeldada, et võrrandi ruutliikme kordaja on .

Geomeetriliste meetodite seas on keskne roll meetodil, millega saab leida antud arvu ruutjuurt, see tähendab, lahendada võrrandit , kus on positiivne arv. Järgnev konstruktsioon on esitatud Eukleidese peateose Elemendid II raamatu 14. lauses.

Ruutjuure geomeetriline leidmine.

Tõmbame lõigu pikkusega . Pikendame seda üle punkti punktini nii, et lõigu pikkus oleks . Konstrueerime poolringjoone, mille diameetriks on . Tõmbame lõigule punktist ristsirge. Olgu selle ristsirge lõikepunkt poolringjoonega. Siis lõigu pikkus on .

See järeldub kolmnurkade ja sarnasusest: kehtib seos , millest .

Meetodites, mis ei kasuta koordinaatsüsteemi, eeldatakse tavaliselt, et võrrandi kordajad ja lahendid on teatavate lõikude pikkused. Seetõttu peab lahendatav võrrand olema esitatav kujul, kus kõik kordajad on positiivsed, samuti vähemalt üks lahend. Täielikke taandatud ruutvõrrandeid, mis neid tingimusi rahuldavad, on kolme tüüpi: , ja . Viète'i valemite põhjal on neist esimesel ruutvõrrandil kaks positiivset lahendit, teisel ja kolmandal aga üks positiivne ja üks negatiivne lahend. Seejuures on teise ruutvõrrandi lahendid kolmanda võrrandi lahendite vastandarvud.

Võrrandi lahendamiseks tõmbame lõigu pikkusega . Konstrueerime ringjoone, mille diameeter on . Tõmbame punktist lõigule ristlõigu pikkusega ja punktist kiire risti lõiguga . Olgu ja selle kiire lõikepunktid ringjoonega. Võrrandi lahendid on lõigu pikkus ja lõigu pikkus.

Võrrandite ja lahendamiseks järgime sama protseduuri kuni punkti konstrueerimiseni. Seejärel tõmbame punktist kiire läbi ringjoone keskpunkti . Olgu ja vastavalt selle kiire esimene ja teine lõikepunkt ringjoonega. Võrrandi positiivne lahend on lõigu pikkus ja võrrandi positiivne lahend lõigu pikkus.

Geomeetriline konstruktsioon
Ruutvõrrandi lahendite leidmine geomeetrilise konstruktsiooni abil.
Geomeetriline konstruktsioon
Ruutvõrrandite ja lahendite leidmine.

Esimese konstruktsiooni puhul rahuldavad ja Viète'i valemeid ja . Teise konstruktsiooni puhul järeldub võrdusest kas või , mis on samaväärsed vastavate ruutvõrranditega.

Carlyle'i ringjoon võrrandi lahendamiseks.

Koordinaatsüsteemi kasutamisel on võimalik lahendada ka negatiivsete kordajatega või negatiivsete lahenditega ruutvõrrandeid. Üks selline meetod on Carlyle'i ringjoon. Eeldame, et lahendatav võrrand on kujul . Märgime koordinaattasandil kaks punkti koordinaatidega ja . Tõmbame ringjoone, mille diameetri otspunktideks on need kaks punkti. Kui see ringjoon lõikab -telge, siis on ruutvõrrandi lahenditeks lõikepunktide abstsissid.

Selle ringjoone võrrand on . Et ringjoone lõikepunktides -teljega on , siis lõikepunktide -koordinaadid rahuldavad võrrandit .

Carlyle'i ringjoonel on ka omadus, et punktid , , ja asuvad korraga nii ringjoonel kui ka funktsiooni graafikul.

Geomeetrilised meetodid olid ruutvõrrandi lahendamisel tavalised kuni keskajani, mil võimsamad ja üldisemad algebralised meetodid nad asendasid.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]