Fibonacci jada

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Fibonacci continuous.png
FibonacciBlocks.svg
Fibonacci spiral 34.svg

Fibonacci jada on arvude jada, mille kaks esimest liiget on vastavalt F1=0 ja F2=1 ning iga järgnev liige on kahe eelneva liikme summa. Jada esimesed liikmed on

(esimesed 500 elementi on loetletud siin).

Fibonacci jada {Fn} defineeritakse rekurrentse seosega

mis lahendatakse algtingimustel

Ajalugu[muuda | muuda lähteteksti]

Teadaolevalt esinevad Fibonacci arvud esmakordselt mātrāmeru nime all Pingala sanskritikeelses käsikirjas Chandaḥśāstra ('Prosoodiakunst'; 450 eKr või 200 eKr).

Aastal 1202 tutvustas seda jada läänemaailmale itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci[viide?].

Pealiige[muuda | muuda lähteteksti]

Fibonacci arvud on tihedalt seotud kuldlõikega: kui valida piisavalt suur Fibonacci arv, siis on sellele eelnev Fibonacci arv sellest alati ligikaudu kuldlõike suhtarvu pöördväärtus korda väiksem ning järgnev arv on sellest korda suurem.

Viimast väljendab asjaolu, et Fibonacci jada esitub kujul

kus on kuldlõike suhtarv. See valem saadakse eeltoodud rekurrentse seose lahendamisel algtingimustel , .

Fibonacci jada pealiikme valemi tuletamine

Unustame esialgu algtingimused ja otsime rekurrentse võrrandi

lahendit kujul

Asendades oletatava lahendi võrrandisse (1), saame pärast kõikide suuruste samale poole võrdusmärki viimist ja -ga jagamist karakteristliku ruutvõrrandi

Selle ruutvõrrandi lahendid on

kus on kuldlõike suhtarv. Et seos (1) on lineaarne, siis on üldlahend

kus kordajad ja leitakse algtingimustest:

Asendades üldlahendi (2) algtingimustesse (3), saame lineaarvõrrandisüsteemi

mille lahendamine annab A ja B väärtused:

Asendades kordajad A ja B üldlahendisse (2), jõuamegi oodatud tulemuseni

Loodus[muuda | muuda lähteteksti]

Fibonacci jada võib kohata ka looduses. Näiteks taimede ehituses: et lehed ühtlaselt päikest saaksid, on need paigutunud korrapäraselt. Näiteks kahe kohakuti lehe vahel on tihti Fibonacci arv[viide?] lehti. Sama on täheldatud ka käbi kihtide puhul[viide?].

Lucas' jada[muuda | muuda lähteteksti]

Vaata ka: Lucas' jada

Lucas' jada liikmed defineeritakse samuti rekursiivselt kahe eelneva liikme summana, kuid selle esimesed liikmed erinevad Fibonacci jada omadest, mistõttu on Lucas' jada Fibonacci jadast erinev. Selle esimesed liikmed on:

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]