Fourier' teisendus

Allikas: Vikipeedia

Fourier' teisendus (Fourier' pööre) on integraalteisenduste hulka kuuluv lineaarne operaator, mis teisendab funktsiooni f selle sagedusspektrit iseloomustavaks funktsiooniks \hat f. See teisendus põhineb teoreemil, mille kohaselt mistahes pidev ja piisavalt regulaarne funktsioon on esitatav siinusfunktsioonide integraalina. Fourier' pööre on pööratav operatsioon. Enamasti on f reaalarvuline ja \hat f kompleksarvuline, kus kompleksarv kirjeldab kindla sageduskomponendi faasi ja amplituudi.

Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Fourier' teisenduse defineerimiseks on mitmeid tavasid [1] [2]. Antud artiklis kasutatakse definitsiooni:

\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx,   iga reaalarvu ξ jaoks.

Kui argument x on aeg t (SI ühikuga sekund), siis teisenduse argument ξ esindab sagedust (hertsides). Sobivates tingimustes on funktsiooni \hat f kaudu võimalik avaldada f ehk pöördteisendusega:

f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xi,   iga reaalarvu x jaoks.

Asjaolu, et \hat f abil saab taastada funktsiooni f, kutsutakse Fourier' pöördteoreemiks, mida tutvustati esmakordselt prantsuse füüsiku ja matemaatiku Joseph Fourier' artiklis "Analytical Theory of Heat"[3] [4], ehkki see tõestati tänapäeva standardite järgi ära alles 1948 .a [5]. Funktsioone f ja \hat f kutsutakse Fourier' integraalpaariks või Fourier' teisenduspaariks.

Fourier' teisendust eukleidilises ruumis vaadatakse eraldi juhuna, kus argument x esindab tihti asukohta ja ξ impulssi.

Sissejuhatus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Fourier' teisendus seostab omavahel funktsiooni ajapiirkonna, punases, sageduspiirkonnaga, sinises. Sagedusspektri komponendid on esindatud piikidena sageduspiirkonnas.

Fourier' teisendus tuleneb Fourier' rittaarendusest. Fourier' rittaarendus võimaldab kirjutada keerulisi, ent perioodilisi funktsioone siinuste ja koosinuste summana. Fourier' teisendus on Fourier' rea pikendus, kus vastava funktsiooni periood on venitatud lõpmatusse[6].

Näide[muuda | redigeeri lähteteksti]

Järgnevad pildid illustreerivad, kuidas Fourier' teisendus mõõdab, kas mingis funktsioonis esineb teatud sagedusi. Funktsioon f(t) = cos(6πt) et2 võngub sagedusega 3 hertsi (kui t on sekundites) ja läheneb 0-le kiirelt. (Teine faktor võrrandis on ümbrisfunktsioon (funktsioon, mille kõver piirab laine amplituudide ekstreemumeid), mis vormib antud pideva sinusoidi lühikeseks impulsiks.) See funktsioon on spetsiaalselt valitud, et sellel oleks reaalne Fourier' teisendus, mida on lihtne graafiliselt esitada (vt. esimest pilti). Selleks, et arvutada \hat f(3), tuleb integreerida e−2πi(3t)f(t). Teine pilt näitab selle funktsiooni reaalset ja imaginaarset osa. Reaalosa on pea alati positiivne, kuna kui f(t) on negatiivne, on ka e−2πi(3t) reaalosa mittepositiivne. Tingitud sellest, et need võnguvad samal sagedusel, on e−2πi(3t) reaalosa positiivne, kui f(t) on mittenegatiivne. Reaalosa integreerimisel saab tulemuseks suhteliselt suure numbri (antud juhul 0,5). Kui mõõta aga mõnd teist sagedust, mida vaadeldud sinusoidis ei esine, nagu näiteks funktsiooni \hat f(5) puhul, võngub integreeritav osa piisavalt, et tulemus tuleks väikene. Enamasti on olukord keerulisem, ent sisuliselt mõõdab Fourier' teisendus just niimoodi seda, kui palju spetsiifiline sagedus funktsioonis f(t) esineb.

Fourier' teisenduse omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Eeldame, et f(x), g(x) ja h(x) on integreeritavad funktsioonid ja mõõdetavad reaalsirgel Lebesgue'i mõõduga ning rahuldavad järgnevat valemit:

\int_{-\infty}^\infty |f(x)| \, dx < \infty.

Nende funktsioonide Fourier' teisenduste tähistused on vastavalt \hat{f}(\xi) , \hat{g}(\xi)  ja  \hat{h}(\xi).

Alusomadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Fourier' teisendusel on järgnevad alusomadused:[7]

Lineaarsus
Iga kompleksarvu a ja b korral, kui h(x)=af(x)+bg(x), siis  \hat{h}(\xi)=a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot\hat{g}(\xi).
1. teisendamine
Iga reaalarvu x0 korral, kui  h(x)=f(x-x_0),  siis  \hat{h}(\xi)= e^{-i\,2\pi \,x_0\,\xi }\hat{f}(\xi).
2. teisendamine
Iga reaalarvu ξ0 korral, kui h(x)=e^{i \, 2\pi \, x \,\xi_0}f(x), siis  \hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi-\xi_{0}).
Skaleerimine
Iga nullist erineva reaalarvu a korral, kui h(x)=f(ax), siis  \hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right).     Olukord a = −1 põhjustab järgmise omaduse: kui h(x)=f(-x), siis \hat{h}(\xi)=\hat{f}(-\xi).
Kaaskompleks
Kui  h(x)=\overline{f(x)},  siis  \hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(-\xi)}.
Täpsemalt öeldes, kui f on reaalne funktsioon, siis  \hat{f}(-\xi)=\overline{\hat{f}(\xi)}., ehk, \hat{f} on hermiitiline funktsioon.
Juhul, kui f on puhtimaginaarne, siis  \hat{f}(-\xi)=-\overline{\hat{f}(\xi)}.
Integreerimine
Asendades \xi=0 definitsiooni, saame
\hat{f}(0) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx

Fourier' teisendus nullpunktis (\xi=0) võrdub funktsiooni f integraaliga üle selle määramispiirkonna.

Perioodilisus ja pööratavus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Sobivatel tingimustel saab funktsiooni f taastada selle Fourier' teisendusest \hat{f}.. Tähistame Fourier' teisenduse sümboliga \mathcal{F}, nii, et \mathcal{F}(f) := \hat{f},. Fourier' teisenduse kahekordne rakendamine teatud funktsioonidele pöörab funktsiooni ümber: \mathcal{F}^2(f)(x) = f(-x). Seda võib tõlgendada kui "aja pööramisena". Seega kui rakendada teatud funktsioonile Fourier' teisendust 4 korda: \mathcal{F}^4(f) = f, saab vana funktsiooni tagasi, mis tähendab, et Fourier' teisendus on neljaperioodiline. Samamoodi saab Fourier' pöördteisenduse, kui rakendada Fourier' pööret 3 korda: \mathcal{F}^3(\hat{f}) = f..

Niisiis võib defineerida paarsuse operaatori \mathcal{P} ,mis inverteerib aega järgmiselt \mathcal{P}[f]\colon t \mapsto f(-t),:

\mathcal{F}^0 = \mathrm{Id}, \qquad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \qquad \mathcal{F}^2 = \mathcal{P}, \qquad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}
\mathcal{F}^3 = \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P}

Need ei kehti iga funktsiooni korral, vaid kindlatel tingimustel, mille dikteerib Fourier' pöördteoreem.

Fourier' teisendus eukleidilises ruumis[muuda | redigeeri lähteteksti]

Fourier' teisendust võib rakendada n dimensioonis, mil teisenduse defineerimiseks on samuti mitu erinevat tava. Üks integreeritava funktsiooni f(x) defineerimise viisidest on järgmine:

\hat{f}(\boldsymbol{\xi}) = \mathcal{F}(f)(\boldsymbol{\xi}) = \int_{\R^n} f(\mathbf{x}) e^{-2\pi i \mathbf{x}\cdot\boldsymbol{\xi}} \, dx

kus x ja ξ on n-dimensionaalsed vektorid, ja x·ξ on nende skalaarkorrutis. Skalaarkorrutis on mõnikord kirjutatud kujul \left\langle \mathbf{x},\boldsymbol{\xi} \right\rangle.

Kõik eelnevas peatükis kirjeldatud Fourier' teisenduse omadused kehtivad ka n dimensiooni puhul.[8]

Määramatuse printsiip[muuda | redigeeri lähteteksti]

Mida kontsentreeritum f(x) on, seda laiem peab olema selle Fourier' teisendus \hat f. Teisisõnu, kui "pigistada" funktsiooni argumendiga x, siis selle Fourier' teisendus argumendiga ξ "venib välja". Pole võimalik korraga kontsentreerida funktsiooni ja selle Fourier' teisendust.

Seda omadust võib tõlgendada kui määramatuse printsiipi. Kui f(x) on integreeritav ja ruut-integreeritav funktsioon, siis ilma üldistuse vähenemiseta on normaliseeritud funktsiooni f(x) kuju järgmine:

\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \,dx=1.

Plancherelli teoreem[9] ütleb, et seega ka \hat{f}(\xi) on normaliseeritud.

x = 0 ümbruse kontsentratsiooni kirjeldab dispersioon[7]:

D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,dx.

Määramatuse terminites on tegemist |f(x)|2 teise momendiga nulli suhtes.

Määramatuse printsiip ütleb, et kui f(x) on absoluutselt pidev ning funktsioonid x·f(x) ja f′(x) on ruut-integreeritavad, siis

D_0(f)D_0(\hat{f}) \geq \frac{1}{16\pi^2}    [7]

Võrdsus on võimalik vaid juhul, kui f(x)=C_1 \, e^{{-\pi x^2}/{\sigma^2}} (seega \hat{f}(\xi)= \sigma C_1 \, e^{-\pi\sigma^2\xi^2}), kus σ > 0 on suvaline reaalarv ja C1 on selline, et f on L2-normaliseeritud[7]. Teisisõnu on f normaliseeritud Gaussi funktsioon varieeruvusega σ2, keskpunktiga 0, ja selle Fourier' teisendus on Gaussi funktsioon varieeruvusega σ−2.

Õigupoolest järeldub eelmainitud võrratusest, et:

\left(\int_{-\infty}^\infty (x-x_0)^2|f(x)|^2\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty(\xi-\xi_0)^2|\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi\right)\geq \frac{1}{16\pi^2}

iga x0, ξ0R [10].

Rakendused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Mõned probleemid, nagu näiteks kindlad diferentsiaalvõrrandid, muutuvad lihtsamaks, kui neile Fourier' teisendust rakendada. Sel juhul taastatakse originaalprobleemi lahend Fourier' pöörteisenduse abil.

Diferentsiaalvõrrandite analüüs[muuda | redigeeri lähteteksti]

Fourier' teisendust ja veel üldisemat Laplace'i teisendust kasutatakse diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Kui f(x) on diferentseeritav funktsioon, Fourier' teisendusega \hat{f}(\boldsymbol{\xi}), siis selle funktsiooni tuletise Fourier' teisendus on 2i\pi\xi\hat{f}(\boldsymbol{\xi}). Selle abil saab teisendada diferentsiaalvõrrandid algebralisteks võrranditeks. See meetod toimib ainult probleemide puhul, mille määramispiirkonnaks on kogu reaaltelg. Üldistades Fourier' teisendust mitme muutujaga diferentsiaalvõrranditele määramispiirkonnaga Rn, saab ka neid lihtsustada algebralisteks võrranditeks.

Teised tähistused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Fourier' pöörde teised tüüpilised tähistused on:

\tilde{f}(\xi),\  \tilde{f}(\omega),\  F(\xi),\  \mathcal{F}\left(f\right)(\xi),\  \left(\mathcal{F}f\right)(\xi),\  \mathcal{F}(f),\  \mathcal F(\omega),\ F(\omega),\  \mathcal F(j\omega),\  \mathcal{F}\{f\},\  \mathcal{F} \left(f(t)\right),\ \mathcal{F} \{f(t)\}.

Elektroonikas, kasutatakse ξ asemel tihti oomegat ω (nurksagedus), mõnikord märgitakse Fourier' teisendust kujul F(jω), kus j on imaginaarühik, et märkida suhet Laplace'i teisendusega. Samas esitatakse Fourier' teisendus vahel mitteametlikult kujul F(2πf), et märkida tavalist sagedust.

Kompleksse funktsiooni \hat{f}(\boldsymbol{\xi}) paremaks tõlgendamiseks võib selle kahe reaalarvulise funktsiooni A(ξ) ja φ(ξ) kaudu esitada polaarkoordinaatides:

\hat{f}(\xi)=A(\xi)e^{i\varphi(\xi)},

kus

A(\xi) = |\hat{f}(\xi)| \

on amplituud ja

\varphi (\xi) = \arg \big( \hat{f}(\xi) \big)  

on faas.

Eelnevast lähtudes võib pöördteisenduse kirjutada kujul:

f(x) = \int  _{-\infty}^{\infty} A(\xi)\ e^{ i(2\pi \xi x +\varphi (\xi))}\,d\xi,

mis on rekombinatsioon kõigist f(x) sageduse komponentidest. Iga komponent on kompleksne sinusoid kujuga e2πixξ  mille amplituud on A(ξ) ja algne faasinurk (kohal x = 0) on φ(ξ).

Teised defineerimise tavad[muuda | redigeeri lähteteksti]

Fourier' teisenduse võib esitada ka nurksageduse kaudu: ω = 2πξ ,mille ühikud on radiaani sekundi kohta.

Asendus ξ = ω/(2π) eelolevatesse valemitesse annab järgneva kuju:

\hat{f}(\omega) = \int_{\mathbf{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx.

Sellisel juhul avaldub pöördteisendus järgmiselt:

f(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}(\omega)e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega.

Erinevalt selle artikli defineerimise tavadest, selliselt defineeritud Fourier' pööre ei ole enam unitaarne teisendus määramispiirkonnas L2(Rn). See tähendab, et vektorite sisekorrutis (eukleidilises ruumis skalaarkorrutis) ei ole invariantne. Fourier' teisenduse valemite vahel esineb ka vähem sümmeetriat.

Esineb ka tava jaotada tegur (2π)n võrdselt Fourier' teisenduse ja pöördteisenduse vahel:

 \hat{f}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx
f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}(\omega) e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega.

Selline Fourier' pööre on jälle unitaarne teisendus määramispiirkonnas L2(Rn). Samuti on olemas sümmeetria teisenduste vahel.

Kokkuvõte populaarsetest Fourier' teisenduse defineerimise tavadest
tavaline sagedus ξ (herts) unitaarne \displaystyle \hat{f}_1(\xi)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{\mathbf{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\xi}\, dx = \hat{f}_2(2 \pi \xi)=(2 \pi)^{n/2}\hat{f}_3(2 \pi \xi)

\displaystyle f(x) = \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}_1(\xi) e^{2 \pi i  x\cdot \xi}\, d\xi \

nurksagedus ω (rad/s) mitteunitaarne \displaystyle \hat{f}_2(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\int_{\mathbf{R}^n} f(x) e^{-i\omega\cdot x} \, dx \ = \hat{f}_1 \left ( \frac{\omega}{2 \pi} \right ) = (2 \pi)^{n/2}\ \hat{f}_3(\omega)

\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}_2(\omega) e^{i \omega\cdot x} \, d \omega \

unitaarne \displaystyle \hat{f}_3(\omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} f(x) \ e^{-i \omega\cdot x}\, dx = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_1\left(\frac{\omega}{2 \pi} \right) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \hat{f}_2(\omega)

\displaystyle f(x) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} \hat{f}_3(\omega)e^{i \omega\cdot x}\, d \omega \

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions | Rahman, Matiur (2011) | WIT Press, ISBN 1845645642.
  2. A Friendly Guide to Wavelets | Kaiser, Gerald (1994) | Birkhäuser, ISBN 0-8176-3711-7.
  3. Théorie Analytique de la Chaleur | Fourier, J. B. Joseph (1822) | Chez Firmin Didot, père et fils.
  4. The Analytical Theory of Heat | Fourier, J. B. Joseph; Freeman, Alexander, translator (1878) | The University Press.
  5. Introduction to the theory of Fourier integrals | Titchmarsh, E (1948) | Clarendon, ISBN 978-0-8284-0324-5.
  6. Advanced Engineering Mathematics: Volume 2 , Chapter 18: Fourier integrals and Fourier transforms | Taneja, HC (2008) | I. K. International Pvt Ltd, ISBN 8189866567.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 Introduction to Fourier Analysis and Wavelets | Pinsky, Mark (2002) | Brooks/Cole, ISBN 0-534-37660-6.
  8. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces | Stein, Elias; Weiss, Guido (1971) | Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
  9. "Plancherel's Theorem.", Weisstein, Eric W. "Plancherel's Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  10. Fourier Analysis: An introduction | Stein, Elias; Shakarchi, Rami (2003) | Princeton University Press, ISBN 0-691-11384-X.

Välislingid[muuda | redigeeri lähteteksti]