Teoreem

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Pythagorase teoreemil on teadaolevalt üle 370 erineva tõestuse.[1]

Teoreem (kreeka sõnast θεώρημα) on propositsioon, mille tõesus tõestatakse tuginedes aksioomidele ja teistele tõestatud teoreemidele. Teoreem on loogiline järeldus aksioomidest. Matemaatilise teoreemi tõestus on loogiline põhjendus teoreemi väitele, mis on antud kooskõlas deduktiivse süsteemi reeglitega. Teoreemi tõestust tõlgendatakse tihti kui teoreemi väite tõesuse põhjendust. Teoreem on üldjoontes deduktiivne tingimusel, et teoreemid tõestatakse vastupidiselt loodusseadustele, mis on eksperimenteerimise ja mõõtmiste abil tõestatavad. [2]

Mitmed teoreemid on tingimuslikud väited. Sel juhul jõutakse tõestuses kokkuvõtteni järelduste kaudu, mis kasutavad tingimusi, mida nimetatakse eeldusteks. Kuna tõestust tõlgendatakse kui tõe põhjendust, vaadeldakse järeldust tihti kui eeldustest tulenevat tarvilikku tagajärge. [3] See tähendab, et järeldus on tõene, kui eeldused on tõesed, ilma rohkemat eeldamata. Siiski, eelduseid võidakse teatud deduktiivsetes süsteemides interpreteerida erinevat moodi olenevalt sellest, millised tähendused on seatud tuletisreeglitele ja tingimussümbolitele.

Kuigi teoreeme võib kirja panna täielikult sümbolkujul, näiteks lausearvutuskujul, siis enamasti on nad esitatud harilikus tavakeeles, nagu inglise või eesti keel. Sama kehtib ka tõestuste puhul, mis on enamasti väljendatud kui loogiliselt üles seatud ja selgelt sõnastatud mitteformaalses keeles argumendid, mille eesmärk on veenda lugejaid teoreemi väite tõesuses. Nendest on võimalik üles ehitada ametlik sümbolkujuline tõestus. [4]Tavaliselt on selliseid arutluskäike lihtsam kontrollida kui puhtalt sümbolkujul kirja pandud tõestusi. Paljud matemaatikud eelistavad tõestust, mis mitte ainult ei näita teoreemi õigsust, vaid ka selgitab, miks selle tõesus ilmne võib olla. Mõnel juhul võib teoreemi tõestamiseks piisata ka ainult pildist või visuaalsest joonisest.

Teoreemide tüübid[muuda | muuda lähteteksti]

Loogikas esitatakse paljud teoreemid kujul: kui A, siis B. Selline teoreem ei kinnita B tõesust, vaid näitab ainult seda, et B on A tarvilik tagajärg. Sellisel juhul on A teoreemi eeldus ning B on väide. Järgnev teoreem „Kui n on paarisarvuline naturaalarv, siis ka n/2 on naturaalarv.“ on tüüpiline näide teoreemist, kus eeldus on „n on paarisarvuline naturaalarv“ ja väide on „n/2 on naturaalarv“. Et teoreem oleks tõestatav, peab see olema väljendatud täpse formaalse lausena. Sellegi poolest pannakse teoreemid enamasti kirja pigem tavalises kirjakeeles, kui täielikult sümbolkujul, eeldades, et lugeja on ise võimeline tuletama kirjakeelest formaalse lause. Matemaatikas on tavaks valida antud keeles kindlad eeldused ning kinnitada, et teoreem koosneb kõigist nendest eeldustest saadavatest väidetest. Need eeldused moodustavad teooriale fundamentaalse aluse ning neid nimetatakse aksioomideks või postulaatideks. Matemaatika haru, mis uurib formaalseid keeli, aksioome ning tõestuste struktuuri, nimetatakse tõestuste teooriaks.[5]

Mõned teoreemid on triviaalsed, tähendades seda, et nende tulenemine definitsioonidest, aksioomidest ning teistest teoreemidest on ilmne. Teised teoreemid on aga „sügavad“, mis vajavad süvitsi analüüsimist, kuna nende tõestused võivad olla pikad ja keerulised, hõlmates mitmeid erinevaid matemaatika valdkondi ja sisaldades raskesti nähtavaid seoseid mitmesuguste erinevate matemaatiliste valdkondade vahel.[6] Teoreemi sõnastus võib olla lihtne, kuid tõestus võib osutuda sügavaks. Hea näide sellisest teoreemist on Fermat’ Suur Teoreem, mis väidab, et võrrandil xn + yn = zn ei ole n > 2 korral positiivseid täisarvulisi lahendeid.

Teistel teoreemidel on teadaolev tõestus, mida ei ole kerge üles kirjutada. Üks näide sellisest teoreemist on neljavärviprobleem ning Kepleri väide. Mõlema teoreemi puhul on nende tõesus teada ainult seetõttu, et need tõestati arvutiotsingute ja programmide abil. Esialgu ei võetud paljude poolt sellist tõestusviisi omaks, kuid nüüdseks on see laiemat tunnustust saanud. Matemaatik Doron Zeilberger on väitnud, et need on ainsad mittetriviaalsed tulemused, mida matemaatikud tõestada suutnud on.[7] Mitmeid matemaatilisi teoreeme on võimalik taandada selgemale ja lihtsamale arvutuskäigule.[8]

Tasapinnaline viievärviline kaart, kus sama värvi piirkonnad ei puutu kokku. Antud kaarti on võimalik värvida vastavalt tingimusele kasutades vaid nelja värvi. Neljavärviprobleem väidab, et sellised värvimised on võimalikud mis tahes tasapinnalise kaardi puhul, kuid iga teadaolev tõestus vajab arvutuslikku otsingut, mis on käsitsi kontrollimiseks liiga pikk.

Esitatavus[muuda | muuda lähteteksti]

Matemaatilise lause teoreemina esitamiseks on tarvis tõestust, st antud väitele tuleb esitada arutluskäik, mis on tuletatud aksioomidest (ja teistest juba tõestatud teoreemidest). Siiski käsitletakse tõestust teoreemi väitest eraldi. Ühele teoreemile võib olla võimalik esitada mitu erinevat tõestust, aga väite teoreemina käsitlemiseks on piisav, kui on esitatud ka vaid üks. Pythagorase teoreemi tõestus[1] ning biruutvastavuse seaduse tõestus[9] on ühed tuntumad suure tõestusarvuga teoreemidest.

Teoreemi ülesehitus[muuda | muuda lähteteksti]

Teoreem ning selle tõestus on esitatud tavaliselt järgmiselt:

Teoreem (isik, kes selle tõestas, ning avaldamise või tõestuse aasta).
Teoreemi väide.
Tõestus.
Tõestuse kirjeldus.
Lõpp.

Tõestuse lõppu tähistatakse tavaliselt lühendiga Q. E. D., mis eesti keeles tähendab „mida oligi tarvis tõestada“ ehk m.o.t.t. või märkidega "□" või "∎" tähenduses „tõestuse lõpp“. Märgid võttis kasutusele Ungari matemaatik Paul Halmos. Tõestuse täpne stiil ja ülesehitus sõltuvad nii tõestuse autorist kui tõestust publitseerivast väljaandest. Teoreemile võivad eelneda definitsioonid, mis kirjeldavad teoreemis kasutatud terminite täpset tähendust. Samuti võivad teoreemile eelneda väited või lemmad, mida samuti tõestuses tõenditena kasutatakse. Teoreemi järeldused esitatakse kas teoreemi ja tõestuse vahel või vahetult pärast tõestust. Mõnikord on järeldustel omaenda tõestused, et selgitada, miks nad teoreemist järelduvad.[10]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. 1,0 1,1 Elisha Scott Loomis. "The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs". Education Resources Information Center. Institute of Education Sciences (IES) of the U.S. Department of Education. Vaadatud 2010-09-26.  Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.
  2. However, both theorems and scientific law are the result of investigations. See Heath 1897 Introduction, The terminology of Archimedes, p. clxxxii:"theorem (θεὼρνμα) from θεωρεἳν to investigate"
  3. Hilborn, Ray; Mangel, Marc (1997). The ecological detective: confronting models with data. Princeton University Press. p. 24. ISBN 978-0-691-03497-3. Vaadatud 22. August 2011. 
  4. Oscar Levin. "Symbolic Logic and Proofs". (Chapter 3). Discrete Mathematics: An Open Introduction. Inglise keel.
  5. Hofstadter, D. R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. New York: Vintage Books, p. 23, 1989.
  6. Weisstein, Eric W. "Deep Theorem". Mathworld.
  7. Doron Zeilberger. "Opinion 51". 
  8. Petkovsek et al. 1996.
  9. See F. Lemmermeyer's chronology and bibliography of proofs in the external references
  10. Richard J. Rossi (2011) Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof. John Wiley & Sons p.4

Märkused[muuda | muuda lähteteksti]

Loomis, Elisha Scott (1968). The Pythagorean proposition (trükk: 2nd). The National Council of Teachers of Mathematics. ISBN 978-0-87353-036-1.  For full text of 2nd edition of 1940, see Elisha Scott Loomis. "The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs". Education Resources Information Center. Institute of Education Sciences (IES) of the U.S. Department of Education. Vaadatud 2010-05-04.  Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]

F. Lemmermeyer's chronology and bibliography of proofs of the Quadratic Reciprocity Law (246 tõestust)


Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]