Orbiidi ekstsentrilisus

Elliptiline, paraboolne ja hüperboolne Kepleri orbiit:
punane: elliptiline (ekstsentrilisus 0,7)
roheline: paraboolne (ekstsentrilisus 1)
sinine: hüperboolne (ekstsentrilisus 1,3)

Taevakeha orbiidi ekstsentrilisus on parameeter, mis näitab, kui palju selle orbiit (trajektoor), millel see tiirleb ümber teise taevakeha või möödub sellest, hälbib ringjoonest. Kui ekstsentrilisus on 0, siis orbiit on ringjooneline; kui ekstsentrilisus on 0 ja 1 vahel, siis orbiit on elliptiline; kui ekstsentrilisus on 1, on see paraboolne paoorbiit; kui ekstsentrilisus on üle 1, on see hüperboolne orbiit. Ekstsentrilisus on üks orbitaalelemente.

Termin tuleneb koonuselõigete parameetrist ekstsentrilisusest, sest Kepleri orbiidid on koonuselõiked.

Mõistet üldistakse ka juhule, kui tegu on kahe kehaga kauguse ruuduga pöördvõrdelise jõu väljas.

Tavaliselt kasutatakse seda mõistet kahe keha probleemi puhul, kuid seda laiendatakse ka galaktikas Klempereri rosetina liikuvatele taevakehadele.

Definitsioon

Kauguse ruuduga pöördvõrdelise jõu korral on kahe keha probleemi lahendiks, et iga orbiit on Kepleri orbiit. Selle matemaatiline ekstsentrilisus on mittenegatiivne arv, mis määrab selle kuju.

Ekstsentrilisuse e väärtused võivad olla järgmised:

• $e=0\,\!$ (ringjooneline orbiit)
• $0<e<1\,\!$ (elliptiline orbiit)
• $e=1\,\!$ (paraboolne trajektoor)
• $e>1\,\!$ (hüperboolne trajektoor)

Ekstsentrilisus $e$ saadakse valemist

$e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{m_{\text{red}}\alpha ^{2}}}}}$,

kus E on koguorbitaalenergia, $L$ on impulsimoment, $m_{\text{red}}$ on taandatud mass ja $\alpha$ kauguse ruuduga pöördvõrdelise tsentraalse jõu (näiteks gravitatsioonijõud või elektrostaatiline jõud klassikalises füüsikas) kordaja:

$F={\frac {\alpha }{r^{2}}}$

($\alpha$ on tõmbejõu korral negatiivne, tõukejõu korral positiivne) (vaata ka Kepleri probleem)

või gravitatsioonijõu puhul:

$e={\sqrt {1+{\frac {2\epsilon h^{2}}{\mu ^{2}}}}}$

kus $\epsilon$ on eriorbitaalenergia (koguorbitaalenergia jagatud taandatud massiga), $\mu$ kogumassil põhinev gravitatsioniparameeter ja $h$ spetsiifiline suhteline impulsimoment (impulsimoment jagatud taandatud massiga).

Ekstsentrilisuse e väärtuste korral 0-ist 1-ni on orbiit aina piklikuma (lapikuma) ellipsi kujuline; e väärtuste korral 1-st lõpmatuseni on trajektoor hüperbooli haru. Piirjuhtum, kui e=1, on parabool.

Radiaaltrajektoore ei nimetata elliptilisteks, paraboolseteks ja hüperboolseteks mitte ekstsentrilisuse järgi, vaid orbitaalenergia järgi. Radiaalsete trajektooride puhul on impulsimoment 0, nii et ekstsentrilisus on 0. Elliptilise, paraboolse või hüperboolse trajektoori ekstsentrilisus läheneb konstantse energia ja kahaneva impulsimomendi korral radiaalsele trajektoorile, kusjuures e läheneb 1-le (või parabooli puhul jääb 1-ks).

Tõukejõu puhul on võimalik ainult hüperboolne trajektoor, sealhulgas radiaalne hüperboolne trajektoor.

Elliptiliste orbiitide puhul on arcsin (e) nurk, mille all ringjoon projitseerub ellipsiks ekstsentrilisusega e. Näiteks selleks et näha Merkuuri orbiidi ekstsentrilisust (e=0,2056), tuleb ringjoonelist objekti kallutada 11,86 kraadi võrra.

Arvutamine

Orbiidi ekstsentrilisust saab arvutada orbiidi olekuvektoritest kui ekstsentrilisusvektori absoluutväärtust:

$e=\left|\mathbf {e} \right|$,

kus $\mathbf {e} \,\!$ on ekstsentrilisusvektor.

Elliptiliste orbiitide puhul saab ekstsentrilisust arvutada ka periapsiidist ja apoapsiidist, sest $r_{p}=a(1-e)$ ja $r_{a}=a(1+e)$, kus $a$ on pikem pooltelg.

$e={{r_{a}-r_{p}} \over {r_{a}+r_{p}}}$

$=1-{\frac {2}{(r_{a}/r_{p})+1}}$,

kus $r_{a}\,\!$ on raadius apoapsiidi puhul (orbiidi suurim kaugus süsteemi massikeskmest, mis on ellipsi fookus) ja $r_{p}\,\!$ on raadius periapsiidi puhul (vähim kaugus).

Elliptilise orbiidi ekstsentrilisuse järgi saab arvutada periapsiidi ja apoapsiidi suhte:

${{r_{p}} \over {r_{a}}}={{1-e} \over {1+e}}$