Vektorruum

Allikas: Vikipeedia

Matemaatikas nimetatakse vektorruumiks hulka, milles on defineeritud liitmine ja korrutamine skalaariga. Skalaarideks on tihti reaalarvud, kuid nendeks võivad olla ka kompleksarvud, ratsionaalarvud või üldiselt suvalise korpuse elemendid. Vektorite liitmine ja skalaariga korrutamine peab rahuldama teatud hulka nõudeid nn vektorruumi aksioome, mis on loetletud all.

Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks.

Vektorruumid on lineaaralgebra üheks keskseks mõisteks.

Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tähistagu u, v ja w vektoreid ruumis V ja a ja b skalaare ehk korpuse K elemente. Vektorruumi aksioomid on järgmised:

Aksioomi nimetus Formuleering
Liitmise assotsiatiivsus u + (v + w) = (u + v) + w.
Liitmise kommutatiivsus v + w = w + v.
Liitmise ühikelemendi olemasolu Leidub selline vektor 0V, et v + 0 = v iga vV jaoks. Seda vektorit nimetatakse nullvektoriks.
Liitmise pöördelemendi ehk vastandelemendi olemasolu Iga vektori v ∈ V jaoks leidub selline vektor wV, et v + w = 0. Seda vektorit nimetatakse v vastandvektoriks ja tähistatkse −v.
Vektorite liitmise distributiivsus skalaariga korrutamise suhtes    a(v + w) = av + aw.
Skalaariga korrutamise distributiivsus vektorite liitmise suhtes (a + b)v = av + bv.
Skalaariga korrutamise ja skalaaride korrutamise ühilduvus a(bv) = (ab)v (See aksioom ei tähenda assotsiatiivsust, kuna käsitletakse erinevaid tehteid: skalaariga korrutamist bv ja skalaaride korrutamistab.)
Skalaarse ühikelemendi olemasolu 1v = v, kus 1 tähistab multiplikatiivset ühikelementi korpuses F.

Kui skalaarid vektorrruumis V kuuluvad korpusesse K, siis räägitakse vektorruumist üle K.

Baas ja dimensioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Baas (matemaatika)
Next.svg Pikemalt artiklis Dimensioon (matemaatika)

Baasi olemasolu annab hea intuitiivse ülevaate vektorruumide struktuurist. Vektorruumi V üle K baasiks nimetatakse lineaarselt sõltumatute vektorite hulka B = {vi| i ∈ I}, kus I tähistab indeksite hulka, et B lineaarne kate moodustaks V = <B>. Teisisõnu iga vektor vV on esitatav järgmise lineaarkombinatsioonina

v = a1vi1 + a2vi2 + ... = ∑i ∈ I aivi1

kus aiK on skalaarid ja vektorid viB baasi elemendid. Hulga B elementide arvu (või võimsust)nimetatakse vektorruumi dimensiooniks ehk mõõtmeks ja tähistatakse dim(V) või dim V.

Igal vektorruumil on baas. Viimane järeldub Zorni lemmast, mis eeldab valikuaksioomi kehtivust. Zermelo-Fraenkeli hulgateoorias on baasi olemasolu valikuaksioomiga ekvivalentne. Ultrafiltri lemmast, mis on nõrgem kui valikuaksioom, järeldub, et vektorruumi kõik baasid on võrdvõimsad. Kui vektorruumi lineaarse katte moodustab mõni lõplik hulk, on eelseisev tõestatav otseselt hulgateooriale toetumata.

Kui vektorruumis on defineeritud skalaarkorrutis, siis saab defineerida baasvektorid, mis on

Sellist baasi nimetatakse ortonormaalseks baasiks.

Kaasruum[muuda | redigeeri lähteteksti]

Vektorruumi V kaasruumiks V* nimetatakse antud ruumil määratud pidevate lineaarsete funktsionaalide hulka. [1]. Kaasruumi elemente nimetatakse ka kovektoriteks.

Näiteid vektorruumidest[muuda | redigeeri lähteteksti]

  • Eukleidiline ruum on lõplikumõõtmeline vektorruum üle reaalarvude, milles on defineeritud skalaarkorrutis. Kolmemõõtmeliline eukleidiline ruum on vektorruum, mille elemente seostatakse põhikoolist tuttava vektorite "tavakäsitusega".
  • Reaalarvud moodustavad ühemõõtmelise vektorruumi üle reaalarvude korpuse.
  • Kompleksarvud moodustavad kahemõõtmelise vektorruumi üle reaalarvude ent ühemõõtmelise vektorruumi üle kompleksarvude korpuse.
  • m × n järku maatriksid (üle korpuse K) moodustavad m × n dimensionaalse vektorruumi (üle korpuse K).
  • Normeeritud ruumid on vektorruumid.
  • Banachi ruumideks nimetatakse normeeritud täielikke vektorrruume.
  • Hilberti ruumideks nimetatakse skalaarkorrutisega varustatud vektorrruume üle kompleksarvude, mis on täielikud skalaarkorrutise kaudu defineeritud normi suhtes.

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (Valgus 1982)