Korpus (matemaatika)

Allikas: Vikipeedia
Disambig gray.svg  See artikkel räägib kommutatiivse korrutamistehtega korpusest; ilma selle nõudeta korpuse kohta vaata artiklit Kaldkorpus.

Olgu K mingi hulk, mis sisaldab vähemalt kaks elementi.   Olgu K-s määratud ka kaks arvutustehet, mida tähistatakse kas või pluss- ja korrutusmärgiga (+ ja ·).   See tähendab, et "+" seab igale kahele K elemendile x ja y vastavusse ühe kindla K elemendi, mida nimetatakse x ja y summaks ning tähistatakse x+y-ga; samuti seab "·" neile kahele elemendile vastavusse ühe K elemendi, mida nimetatakse x ja y korrutiseks ning tähistatakse x·y-ga (või lihtsamalt xy-ga).

Selline hulk K oma kahe arvutustehtega on korpus ehk kommutatiivne korpus, kui sellel on kõik järgmised omadused:

  • x+(y+z) = (x+y)+z   alati   (+-i assotsiatiivsus ehk ühenduvus)
  • K-st leidub selline element 0, et alati kehtib   0+x = x
  • Igal elemendil x on K-s oma "vastandelement" −x nii, et   −x+x = 0
  • x+y = y+x   alati   (+-i kommutatiivsus ehk vahetuvus)
  • x·(y+z) = x·y+x·z   alati   (I distributiivsus ehk jaotuvus)
  • x·(y·z) = (x·yz   alati   (·-i assotsiatiivsus ehk ühenduvus)
  • K-st leidub teinegi eriline element 1 nii, et alati kehtib   1·x = x
  • Igal elemendil x peale 0-i on K-s oma "pöördelement" x´ nii, et   x´·x = 1
  • x·y = y·x   alati   (·-i kommutatiivsus ehk vahetuvus)

Ehkki nimetused (liitmine, korrutamine, summa, korrutis) tekitavad kujutluse, et korpuses mängitakse arvudega, ei ole asi vältimatult nii − elementideks võivad olla muudki objektid peale arvude.   Nulliga (0) tähistatud elemendil ei tarvitse olla "õige null", kuid see on vaid liitmises mõjumatu element (+-i neutraalelement); samuti on ühega (1) tähistatud vaid korrutamises mõjumatu element (·-i neutraalelement).

Sellest ei pääse küll mööda, et nood üheksa omadust on just need, mis me teame olevat arvudel.   Meile tuntud harilikud arvud, kas või arvusirge kõik reaalarvud, moodustavad niisiis korpuse.

Et kõik korpused ei koosne arvudest, nähtub järgnevast näitest.   Siin on elementideks ainult kaks sõna(!), paaris ja paaritu.   Elementide hulk K on niisiis väga väike: {paaris, paaritu}.   Kas sõnadega saab sooritada tehteid?   Saab küll, kui lepitakse kokku näiteks järgmised tulemused:

paaris+paaris = paaris,   paaris·paaris = paaris

paaritu+paaritu = paaris,   paaritu·paaritu = paaritu

paaris+paaritu = paaritu,   paaris·paaritu = paaris

paaritu+paaris = paaritu,   paaritu·paaris = paaris

Kõik võmalikud arvutused saavad sooritatud, ja tulemused ei tundu sugugi olevat rumalad!   Pandagu eriti tähele, et paaris+x = x, olgu x kumb tahes, ja   paaritu·x = x, olgu x kumb tahes.   Seega vastab paariline 2. punkti "nullelemendile" 0 ja paaritu 7. punkti "ühikelemendile" 1.   Hulgas K = {paaris, paaritu} = {0, 1} on võimalik tõestada ka kõikide teiste punktide kehtivust. Järelikult on tegemist korpusega. See korpus kuulub lõplike korpuste ehk Galois’ korpuste sekka.   Pange muide tähele, et selles korpuses 1+1 = 0; seal pole olemas mingit "kahte"!