Felix Klein

Allikas: Vikipeedia
Felix Klein.jpeg

Felix Christian Klein (25. aprill 184922. juuni 1925) oli saksa matemaatik.

Felix Christian Klein sündis 25.4.1849. Ta oli oma sünnikuupäeva üle väga õnnelik, sest kõik arvud selles on algarvude ruudud.

Elulugu[muuda | redigeeri lähteteksti]

Lapsepõlv ja õpingud (1849–1868)[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tema isa oli Preisi juhtiva riigitegelase sekretär ja tema sünniööl oli käimas revolutsioon. Seda ööd on kirjeldatud nii: «Väljas mürisesid kahurid barrikaadide pihta, mille olid rajanud Reinlastest mässajad vihatud Preisi ülemvõimu vastu. Sees, kuigi kõik oli põgenemiseks valmis seatud, ei tulnud põgenemine kellelegi mõttessegi. Sest sel ööl sündis Preisi ülempresidendi sekretärile poeg. See poeg oli Felix Klein.» [1]

Algõpetuse sai Felix Klein emalt, kes huvitus pedagoogikast ja teadusest. Seejärel käis poiss kaks ja pool aastat eraalgkoolis ning astus 1857. aastal kodulinna Düsseldorfi humanitaargümnaasiumi, kus sai 8 aasta pärast küpsustunnistuse. Selles gümnaasiumis peeti matemaatikat ja loodusteadusi kõrvalaineteks ja nii jäid tema teadmised neis valdkondades kesiseks. Hiljem avaldas ta arvamust, et koolis õppis ta teaduslikult töötama; teadmisi loodusteaduste ja tehnika vallas kogus ta iseseisvalt. Selleks oli palju abi looduse vaatlemisest ning tööstusettevõtete külastamisest, milleks pakkus häid võimalusi isa ametikoht.

Pärast gümnaasiumi lõpetamist aastal 1865 astus Klein Bonni ülikooli ja õppis seal matemaatikat ja füüsikat. Seal määrati ta 1866. aasta kevadel Julius Plückeri laboriassistendiks. Plückeril oli oma elu jooksul mitmeid eri huvisid (matemaatika ja eksperimentaalfüüsika), kuid tollal huvitus ta eriti geomeetriast. Felix Klein tegi selle teema omandamisel niivõrd suuri edusamme, et kui Julius Plücker 1868. aasta mais suri, usaldati tema hooleks Plückeri teose "Ruumi uus geomeetria" teise trüki väljaandmine, ehkki ta ei olnud veel kahekümneaastanegi. Joongeomeetriast valitud teemal "Teist järku joonte teisendamine joonkoordinaatidelt kanoonilisele kujule" Klein ka promoveerus. Juhendaja Rudolf Lipschitzi käe all sai ta 1868. aasta detsembris filosoofiadoktoriks.

Tutvumine teiste matemaatikutega[muuda | redigeeri lähteteksti]

Selle ajani oli Klein tunginud matemaatikasse väga sügavale, kuid seda peamiselt ühel kitsal erialal. Nii polnud ta näiteks enne lõputöö kaitsmist külastanud ühtegi integraalarvutuse loengut.

Aastal 1869 külastas Klein Pariisi, Berliini ja Göttingeni. Göttingenis tutvus ta Plückeri tööde avaldamisega seoses matemaatiku Alfred Clebschiga. Clebschi ja Paul Gordani järgi sai nime Clebschi-Gordani koefitsient, mis on kasutusel sfääriliste harmoonikute teoorias. Funktsiooni, mis rahuldab Laplace'i võrrandit d2f(x,y)/dx2 + d2f(x,y)/dy2 = 0, nimetatakse harmooniliseks kahe muutuja funktsiooniks. Harmoonilised funktsioonid on rakendusel paljudes matemaatika harudes, bakalaureuseõppes puutub nendega kokku kompleksmuutuja funktsioonide teoorias, kus näidatakse, et iga kompleksmuutuja funktsioon on analüütiline parajasti siis, kui ta rahuldab Cauchy-Riemanni võrrandeid (mis on samaväärne sellega, et ta rahuldab Laplace'i võrrandit). Sfäärilised harmoonikud vaatavad Laplace'i võrrandit sfääriliste koordinaatide abil ja neid kasutatakse kvantfüüsikas.

1869. aasta talvel ja 1870. aasta kevadel viibis Klein Berliinis. Seal külastas ta mõningaid loenguid ülikoolis ja töötas koos mitme noore matemaatikuga. Üks neist oli austerlane Otto Stolz, kes avaldas Kleinile erakordselt viljakat mõju. Nende vahel tekkis hiljem, kui Stolz oli Austriasse tagasi läinud, elav kirjavahetus. Göttingeni ja Innsbrucki arhiividest on leitud nende korrespondents, mis koosneb enam kui 50 kirjast. Stolz'i kaudu tutvus Klein mitteeukleidilise geomeetriaga, peamiselt Nikolai Lobatševski ja János Bolyai tööde läbi.

Teine matemaatik, kellega Kleinil mõttetöö sujus, oli norralane Sophus Lie. Lie oli leidnud enda huvialaks olevat Plückeri lähenemise ja ta valis selle enda lähtepunktiks. Enne Göttingeni tulekut avaldas ta enda kulutustel ühe publikatsiooni, milles kirjeldas enda ideed. Kuna Christiania Teaduste Akadeemia, kus ta oli õppinud ja õpetas, ei julgenud tema tööd avaldada, siis tundis ta, et tema ideid ei tunnustata matemaatilistes ringkondades piisavalt. Siiski saatis ta oma töö tutvumiseks kahele Preisi matemaatikule, Theodor Reye'le ja Clebsch'ile ning avaldamiseks tuntud ajakirjale "Journal für die reine und angewandte Mathematik", (edaspidi "Journal"), mille asutajaks on August Leopold Crelle. Kuna "Journal"-is ta töö avaldati, andis see talle julgustust ning samuti anti talle Christiania Teaduste Akadeemia poolt stipendium reisimiseks ja juhtivate matemaatikutega tutvumiseks. Nii sattuski ta Berliini samal ajal kui Klein. Lie'd ja Kleini ühendas muuhulgas see, et Lie oli Plückeri ideede austaja ja Klein tema õpilane. Sellegipoolest oli nende iseloom väga erinev. Tsiteerin: "Lie ja Klein olid üsna erinevate iseloomudega nii inimeste kui matemaatikutena: algebraist Klein'i köitsid erinevate probleemide iseärasused; samal ajal aga Lie, proovides eemalduda erijuhtudest, püüdles vaadelda probleeme üldistatult."[viide?]

Berliinis leidis Lie usku endasse. Ernst Eduard Kummer julgustas teda matemaatikaga tegelema, Reye ja Clebsch vastasid ta kirjadele ning Kleini näol leidis ta endale mõttekaaslase. 1870. aasta kevadel suundusid nad koos Pariisi. Seal kohtasid nad Jean Gaston Darboux'd, Michel Chasles'd ja Marie Ennemond Camille Jordani. Jordan avas Lie silmad rühmateooria olulisusele geomeetria jaoks. Lie tollastest ideedest arenes välja tema hilisem töö rühmade transformatsioonide kohta. Lie ja Klein arutasid ja täiendasid üksteist ning sellelt mõttekasvulavalt arenes välja paar aastat hiljem Kleini "Erlangeri programm". Lie ja Klein kirjutasid neil teemadel koos mitmeid publikatsioone. Varsti pärast seda tuli sõda Prantsusmaa ja Preisimaa vahel, Klein naasis Saksamaale ja Lie pärast seiklusi ja sekeldusi tagasi Norrasse Christianiasse.

Järgnevad aastad (1871–1880)[muuda | redigeeri lähteteksti]

Klein siirdus tagasi Göttingeni, kus ta habiliteerus 1871. aasta jaanuaris. Et ta oli avaldanud tähelepanuväärseid publikatsioone, vabastati ta habilitatsioonitöö kirjutamisest. Ta pidas ainult prooviloengu komplekspindade mudelitest, mida hindas eriti kõrgelt Clebsch. Klein töötas Göttingenis eradotsendina, pidades matemaatika- ja füüsikaloenguid. Talle meeldis pigem anda füüsikaloenguid, ehkki teaduslikul tasemel oli avaldanud ainult matemaatikaalaseid publikatsioone. Füüsika on näitlikum teadus, kus on võimalik kergemini tuua näiteid reaalsest elust. Võib-olla on just selles põhjus, miks Klein füüsikat õpetada eelistas. Nagu paljud eri allikad Kleini kirjeldavad, oli ta väga elava kujutlusvõimega inimene. Klein rõhus sellele, et matemaatiku jaoks on tähtsad mõlemad, nii intuitsioon kui range loogiline arutlemine.

Tema surmakuulutuses ütleb Chisholm Young: "[Ta vaim] sätendas ideedest ja säravatest tähelepanekutest, kuid samal ajal on tõsi, et tema tööd jätavad soovida matemaatilise korrektsuse poole pealt. See probleem lahenes alles isiklikus kontaktis temaga, vähemalt sedavõrd, mis puutub tema õpilastesse. Tema lööklauseks oli "Ära kunagi igavle!"."

Juba 1871 ilmus "Matemaatika Annaalides" töö, mis tõi talle maailmakuulsuse: "Nõndanimetatud mitteeukleidilisest geomeetriast", mille ta kirjutas koos Stolziga. Aastatel 1873 ja 1874 ilmusid samal teemal kaks järgnevat publikatsiooni. Nende töödega näitas Klein lõplikult, et tema varasem mõte mitteeukleidilise geomeetria ja Cayley mõõdu-määrangu vahelisest seosest on õige.

1872 määrati Klein professoriks Erlangeni ülikoolis kõigest 23-aastasena, suuresti tänu Clebschi toetusele, kes arvas, et Kleinist võib saada nende ajastu suurim matemaatik. Nii otsustaski ta matemaatika kasuks, kuigi ta pöördus hiljem tihti tagasi füüsika, eriti mehhaanika juurde. Füüsikas on Kleini geeniust väljendamas fakt, et ta leiutas güroskoobi.

Erlangeni ülikoolis oli tavaks, et uus professor informeeris oma kavatsustest teaduskonda ja senatit ning pidas oma õppetegevuse eesmärkidest avaloengu. Kleini kirjutis pealkirjaga "Võrdlevad vaatlused uuematest geomeetrilistest uurimustest" on tänapäevalgi tuntud kui Erlangeni programm. 19. sajandiks oli vaadeldud erinevaid geomeetriaid: eukleidiline geomeetria, mitte-eukleidiline geomeetria, projektiivne geomeetria ja afiinne geomeetria. Klein eristas geomeetriaid nende invariantide järgi. See tähendab, ta vaatas teisenduste rühmi, mis teisendavad teatavad punktihulgad iseendaks. See loogika töötab mõlemat pidi: Klein seadis teisenduste rühmale vastavusse kõigi punktihulkade hulga, mis viiakse teisenduse abil iseendaks ja punktihulgale seadis vastavusse kõigi teisenduste rühma, mis selle punktihulga iseendaks viib.

Klein näitas, et kui on kaks geomeetriat, millest esimese invariantsete teisenduste rühm on teise alamrühm, siis esimene geomeetria "sisaldab" teist, ehk kõik omadused, mis on esimesel geomeetrial, saab üle kanda teisele. Näiteks, kuna projektiivse geomeetria invariandid on alamrühmana olemas nii afiinses geomeetrias, kui ka eukleidilises geomeetrias, on projektiivne geomeetria üldisem kui eelnimetatud.

Avaloengus toonitas Klein puhta matemaatika ja rakendusmatemaatika ühtsust — seost niisuguste piirnevate teadusharude nagu füüsika ja tehnika vahel. Oma aja kohta oli see edumeelne seisukoht. Klein nõudis matemaatika lugemistoa ja matemaatiliste mudelite kogu loomist. Ka tahtis ta kujutava geomeetria õpetamist, sest ta oli veendunud, et matemaatika õpetamisel pole tähtis mitte üksnes loogilise mõtlemise, vaid ka kujutlusvõime arendamine. Niisuguseid põhimõtteid, mis iseloomustasid tema enese õppekäiku ja uurimistööd, rakendas ta edukalt oma nelikümmend aastat kestvas pedagoogilises tegevuses.

Kleini õpilaste seast ei võrsunud üksnes teadlasi, vaid ka matemaatikaõpetajaid. Tulevastelt õpetajatelt nõudis ta kujutava geomeetria ja rakendusmatemaatika head tundmist, et nad suudaksid oma õpilastele matemaatika tähtsust veenvalt selgitada. Esialgu ei leidnud ta Erlangenis tänu õpilaste vähesele arvule oma koolkonda. Tema esimesele loengule tuli kaks inimest, kellest ühele jäi see viimaseks korraks. Kuid varsti kogus ta suuremal hulgal nn. "eriõpilasi", üliõpilasi, keda ta seminarides ja isikliku vestluse teel valmistas ette eriprobleemide uurimiseks ja oma uurimistegevusest osavõtuks.

1872. aastal suri Clebsch difteeriasse. Enamik Clebschi eriõpilastest nägid Kleinis seda õppejõudu, kes oleks suuteline Clebschi tööd jätkama, ja siirdusid Erlangenisse. Nad ei eksinud. Järgneva kolme aasta jooksul viis Klein kuus neist promotsioonini, mis oli erakordne saavutus, mis näitab, et Kleini lähenemine muuta matemaatika "näitlikumaks" oli viljakas.

1875. aastal võttis ta vastu kutse minna õpetama Müncheni Tehnoloogiainstituuti. Seal lõi ta õpetamistalent õitsele ja ta leidis palju huvitatud kuulajaid, kelle hulgast on meile tuntumad ehk Carl Runge (Runge viga, numbrilised meetodid) ja Max Planck (Planck'i konstant, kvantfüüsika).

Samal aastal abiellus ta Anne Hegeliga, saksa filosoofi Georg Wilhelm Friedrich Hegeli pojatütrega.

Klein uuris mitmeid erinevaid valdkondi, mis tollel ajal aktiivsed olid. Näiteks huvitus ta algebraliste võrrandite lahendamisest, kus võrrandi järk on neljast suurem. Tema loodud modulaarsete elliptiliste funktsioonide teooria on leidnud rakendamist näiteks Fermat' teoreemi lahendamisel.

Murdumine ja depressioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Münchenis alustas Klein terve rea töödega, mis ta 1880. aastal, Leipzigi ülikooli astudes avaldas. Need tööd kuulusid põhiliselt Riemanni poolt arendatud geomeetrilisse funktsiooniteooriasse ja automorfsete funktsioonide teooriasse ning Richard Courant'i (1888–1972) arvates saavutas Klein nendega oma loomingulise tegevuse tipu, "muutudes Riemanni vaimu kõige kirglikumaks ja edukamaks apostliks". 1880–1886 õpetas Klein Leipzigi ülikoolis geomeetriat, koos paljude tolle aja helgete peadega. Klein ja Henri Poincaré töötasid mõlemad automorfsete funktsioonide kallal ja nad üritasid üksteist üle trumbata. Klein ise kirjeldas tekkinud olukorda nii: "Selle ala artiklid kujutavad enesest Poincaré publikatsioonide algust. 1880 esitas ta akadeemiale automorfsete funktsioonide kohta auhinnatöö. Alates 1881. aastast järgnes sellele tormiline publikatsioonide seeria ajakirjas Comptes Rendus... ; ühe aasta jooksul avaldas Poincaré 13 artiklit, mis ta siis "Matemaatika annaalides" kokku võttis. Mina tegelesin tookord 1881. aastal Riemanni algebraliste funktsioonide ja nende integraalide teooria väljatöötamisega ..." Klein astus 1881. juunis Poincaré'iga kirjavahetusse. Rivaalitsemine kasvas. Klein: "Mul õnnestuski Poincaré'ist natuke ette jõuda. Hind, mida pidin selle eest maksma, oli igatahes kõrge: mu tervis murdus... 1882. aastal langes minu produktiivsus teoreetilise matemaatika alal nullini. Kõik järgnev puudutab, niipalju kui see töötlust käsitleb, veel ainult üksikasju. Nii oli Poincarél vaba voli ja enne 1884. aastat avaldas ta Acta Mathematica's". Järgneval kahel aastal (1883–1884) kannatas ta sügava hingelise depressiooni ja üleväsimuse käes, mis oli tingitud närvivapustusest. 1885 kirjutas ta väikest raamatut ikosaeedrist.

Edasine elukäik[muuda | redigeeri lähteteksti]

Ületöötamisest tingitud tervisekriis ei olnud siiski lõplikult purustanud Kleini töötahet. Nüüdsest alates omandas Klein uue teadusliku töötamisviisi, mida ta ise järgmiselt iseloomustas: "Piirdusin ideede ja juhtnööridega ning jätsin tööde üksikasjad ja vormistamise noorematele jõududele, kes seisid abivalmilt mu kõrval.".

Kleini uue tööviisi tähtsamad tulemused on eelkõige dissertatsioonid, ühised publikatsioonid nooremate teadlastega ja autografeeritud loenguvihikud, mida redigeerisid enamasti assistendid. Nendest on tuntumad "Mitteeuklediline geomeetria", "Elementaarmatemaatika kõrgemalt vaatekohalt" ja alles pärast Kleini surma avaldatud "Loengud matemaatika arengust 19. sajandil". Viimati mainitud loenguid ei pidanud Klein enam avalikult, vaid oma korteris emeriitusena. Need on väga väärtuslikud allikad uuema matemaatika tähtsamate harude arengu uurimisel.

Tema ja tema sõprade teene oli, et aastal 1893 avati Göttingeni ülikooli uksed naistele. Nii oli Kleini poolt juhendatud 48 dissertandi seas ka inglanna Grace Young — esimene naine, kes promoveerus Preisi ülikoolis ettenähtud korras. Klein oli erakordselt hea õpetaja. Matemaatika Genealoogia Projekti kohaselt oli tal 57 õpilast, kellele ta oli juhendajaks või kaasjuhendajaks. Matemaatika Genealoogia Projektis vaadeldakse ka matemaatiku "järglasi". Vaadatakse puud, mis hargneb allapoole siis, kui matematik on olnud juhendajaks õpilasele, ja loetakse niimoodi tekkinud puu lehed kokku. Felix Kleinil on 2010. aasta jaanuari seisuga 35695 järglast.

Klein püüdis ühendada ja ümber struktureerida kogu haridussüsteemi alates keskkooliklassidest kuni ülikoolini. Ta seadis endale eesmärgiks siduda "puhas" matemaatika, loodusteadused ja tehnoloogia. Mõlemad eesmärgid sisustasid palju tema Göttingenis veedetud ajast. Ühe tingimusena, mida Klein nõudis enda siirdumisel Göttingeni, oli, et ülikooli loodaks eraldi matemaatikaalane lugemistuba raamatukoguga.

Ta alustas teisigi suurejoonelisi ja maailmaavardavaid projekte: ta andis idee ja oli kaastoimetajaks Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften loomisel, mis üritas koondada kõiki tolle aja olulisemaid matemaatikuid, uurimisharusid ja tulemusi.

Ajakiri Mathematische Annalen (Matemaatika annaalid), mille algselt lõi Clebsch, lõi Kleini juhtimise all õitsele. Klein juhtis ajakirja demokraatlikult: kogu matemaatikuid arutas ühiselt, mida ajakirja panna ja mida välja jätta. "Annaalid" ületasid varsti kuulsuselt rivaali Crelle' ajakirja "Journal". "Matemaatika annaale" väljastatakse tänase päevani ja nende näol on tegemist väga nimeka ajakirjana.

Aastatel 1907–1918 kuulus Klein Göttingeni ülikooli esindajana Preisi valitsuse juurde. Selleks sai ta peamiselt oma teenete eest Göttingeni Rakendusfüüsika ja Matemaatika Edendamise Ühingu rajamisel ja juhtimisel. Seoses nende ülesannetega võttis Klein osa paljudest rahvuslikest ja rahvusvahelistest kongressidest, pidades ettekandeid ja loenguid ka väljaspool Göttingeni ülikooli, viis läbi nõupidamisi ja õppereise. Muuhulgas käis ta Ameerika Ühendriikides seoses 1893. aasta Chicago maailmanäitusega.

Kleini suurimaks taotluseks oli luua Matemaatika Instituut. Ülikoolile kingiti selleks otstarbeks maatükk otse Füüsika Instituudi kõrval. Projekt jäi aga katki, kuna aasta oli 1914 ja algas Esimene maailmasõda.

1913. aastal jäi Klein pensionile. Emeriteeritud professorina luges Klein end vabastatuks küll oma "kohustustest", kuid mitte "õigustest ja privileegidest". Nagu veerand sajandit tagasigi, oli ta teaduskonnas tugev ja suundaandev jõud, mõjukas hääl Berliini ministeeriumis ja ta esindas ülikooli oma suhtlemises tööstusega. Elu viimaste päevadeni huvitus ta elavalt kõigest, mis toimus ülikooli matemaatika- ja füüsikateaduskonnas. Courant'ile meeldis jutustada, kuidas Klein, veendunud, et lõpp on lähedal, käsutas kord assistendid enda juurde viimaste korralduste andmiseks, ning oli siis "väga rahulolematu", kui surm laskis oodata.

Felix Klein suri vaiksel soojal õhtul 22. juunil 1925. Juba ammu enne oma surma oli ta oma assistendid selleks ette valmistanud. "Ometi, olles toimunud, vapustas see sündmus sügavalt meid kõiki ja avaldas meile tugevat mõju," ütles David Hilbert lühikeses kõnes, mille pidas oma kolleegidele järgmisel hommikul. "Kuni eilse õhtuni oli Felix Klein veel meiega, me võisime minna talle külla, kuulda tema nõuandeid, veenduda tema elavas huvis meie toimingute vastu. Nüüd on see kõik lõppenud."

Igal pool Göttingeni ülikoolis ringi vaadates võis silmata midagi, mis oli Kleini kätetöö – matemaatiliste mudelite kogu koridoris, lugemistuba raamatutega avariiulitel, hulk ülikooli ümber loodud tehnikainstituute, head suhted haridusministeeriumiga ... Mõni kuu hiljem Göttingeni teadusliku seltsi mälestusistungil meenutas Courant "suure Felixi" dramaatilist elu – tagasihoidlikku algust, efektseid saavutusi ("Kui me tänapäeval võime toetuda Riemanni töödele, siis on see täielikult Kleini teene"), traagilist murrangut ja seejärel – "imetlusväärne pöördepunkt" – inimest, kes näis murtud, kuid elas veel 43 aastat ning näitas ennast kõige mitmekesisema uurija, pedagoogi, organisaatori ja administraatorina.

"On raske mõista Kleini panuse olulisust meie geomeetrilisse arusaamisse. Seda sellepärast, et tema mõtlemisviis ei mõju meile kummalisena; vaid vastupidi, on saanud niivõrd oluliseks osaks meie mõtlemisest, et me ei oska kujutleda geomeetriat ilma selleta ega suuda aru saada, miks tema kaasaegsetel oli raske tema ideid omaks võtta."

Felix Kleini Erdős-e arv on 5. (Muljetavaldav ei ole mitte niivõrd arv 5 iseenesest, vaid selle arvu olemasolu kui selline: paljudel tema kaasaegsetel seda ei olegi võimalik defineerida.)

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. «Kuulsaid 19.-20. sajandi matemaatikuid.» Peeter Müürsepp. «Valgus» 1985

Kasutatud kirjandus[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. The MacTutor History of Mathematics: Felix Klein. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Klein.html
  2. The MacTutor History of Mathematics: Otto Stolz. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Stolz.html
  3. The MacTutor History of Mathematics: Sophus Lie. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lie.html
  4. New York Times. 9 Juuli 1925 «Obituary of Felix Klein». Internetis saadaval: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Obits/Klein.html
  5. http://math.ucr.edu/home/baez/erlangen/
  6. arXiv. „A comparative review of recent researches in geometry“, Felix C. Klein . http://arxiv.org/abs/0807.3161 Märkus: Erlanger'i progra
  7. http://books.google.ee/books?id=Xn_ie19FTBUC&pg=PA782&lpg=PA782&dq=%22felix+klein%22+1882+health&source=bl&ots=lMStLOhZcl&sig=_TyLfl_roCnHz9g83LfjDA7OOrc&hl=et&ei=DYEcS5n8OMLMjAf7yvSIBA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CDAQ6AEwBw#v=onepage&q=%22felix%20klein%22%201882%20health&f=false
  8. Collaboration Distance. http://www.ams.org/mathscinet/collaborationDistance.html
  9. The Mathematics Genealogy Project. Felix Klein. http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=7401