Laplace'i teisendus

Laplace'i teisendus on integraalteisendus, mis reaalmuutuja või kompleksmuutuja funktsioonile seab vastavusse ühe kompleksmuutuja funktsiooni.

Signaalitöötluses seatakse antud integraalteisenduse läbi aja funktsioonile f(t) vastavusse kujutis F(s) üle komplekstasandi s=σ+jω.

Ajas statsionaarsete perioodiliste funktsioonide jaoks taandub Laplace'i teisendus Fourier' teisenduseks ja kujutise spektriks ehk sagedusspektriks üle s-tasandi imaginaartelje s=jω (ehk σ=0). Selle vaste on praktilise spektrianalüüsi teel saadav signaali spekter.

Sageli on spektri analüüsi juures võimalik piirduda signaali spektri mooduliga ehk amplituudispektriga (näiteks helisignaalide puhul, kuigi heli komponentide omavaheliste faasisuhted, eriti nende muutused heli kestmise ajal, on paljudel juhtudel tajutavad).

Lineaarsete süsteemide (näiteks elektriahelate) puhul on kasutatavad nende ülekandefunktsioonid, mille praktilised vasted on sageduskarakteristikud ja siirdekarakteristikud.

Originaalid

Laplace'i teisendus eksisteerib ainult teatud funktsioonide klassil ja sellesse klassi kuuluvaid funktsioone nimetatakse originaalideks. Funktsiooni $f$ nimetatakse originaaliks, kuiː

• funktsioon $f$ on tükiti pidev lõigus $[0,T]$ iga $T>0$ korral,
• leiduvad reaalarvud $M>0$ ja $\alpha \geq 0$, et iga $t\geq 0$ korral $|f(t)|\geq Me^{\alpha t}$. Funktsioon võib olla ülimalt eksponentsiaalse kasvuga.

Reaalarvude $\alpha$ alumist raja nimetatakse funktsiooni $f$ karvu näitajaks.

Definitsioon

Kui funktsioon $f$ on originaal, siis tema Laplace'i kujutiseks nimetatakse funktsiooniː

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$

Vaata ka

• Z-teisendus
• Operaatorarvutus