Ülekandefunktsioon

Allikas: Vikipeedia
Mine navigeerimisribale Mine otsikasti

Ülekandefunktsioon (inglise keeles transfer function) on avaldis, mis seob lineaarse süsteemi (nt signaalitöötlusseadme) väljundsuuruse tema sisendsuurusega.[1] Ülekandefunktsiooni võib esitada sõltuvalt ajast või sagedusest.

Autuomaatjuhtimissüsteemide ja nende lülide matemaatilisel kirjeldamisel esitatakse ülekandefunktsioon harilikult väljundsignaali Laplace'i teisenduse ja sisendsignaali Laplace'i teisenduse suhtena (nullilistel algtingimustel).[2]

Kui on teada süsteemi sisendsignaal ja ülekandefunktsioon, siis on määratav ka väljundsignaal.

Lineaarsed ajas muutumatud süsteemid[muuda | muuda lähteteksti]

Ülekandefunktsioone kasutatakse signaalitöötluses, automaatjuhtimissüsteemides ja kommunikatsiooniteoorias. Ülekandefunktsiooni all mõeldakse tavaliselt lineaarseid ajas muutumatuid süsteeme. Praktikas pole enamus süsteeme lineaarsete sisend- ja väljundkarakteristikuga, kuid nominaalsete tööparameetrite puhul saab neid lihtsustada lineaarseteks ajas muutumatuteks süsteemideks.

Allpool olevad kirjeldused on antud komplekskujul muutujaga . Üldjuhul on piisav defineerida muutuja (seega ), mis lihtsustab kompleksarvuliste muutujatega Laplace'i teisenduse reaalarvuliste muutujatega Fourier' teisenduseks. Rakendustes, kus sellist lihtsustamist kasutatakse, uuritakse ainult püsiseisundit, mitte põgusaid sisse- ja väljalülitamise käitumist ning stabiilsus probleeme. Selliseid rakendusi esineb signaalitöötluses ja kommunikatsiooniteoorias.

Seega pideva sisendsignaali ja väljundi ülekandefunktsioon on sisendi Laplace'i teisenduse lineaarne kujutamine väljundi Laplace'i teisenduseks :

või

.

Diskreetsete süsteemide korral kasutakase Z-teisendust sisendsignaaali ja väljundsignaali suhtel ning siis on ülekandefunktsioon tuttaval kujul .

Diferentsiaalvõrrandite otsene tuletis[muuda | muuda lähteteksti]

Vaatleme konstantsete koefitsientidega lineaarset diferentsiaalvõrrandit

kus ja on sobivalt sujuvad funktsioonid ajas ja on vastavas funktsiooniruumis määratletud operaator, mis on kujutus funktsiooni ja funktsiooni vahel. Sellist võrrandit saab kasutada, et väljundfunktsiooni jõuga piirata funktsiooni . Ülekandefunktsiooni saab kasutada operaatori määratlemiseks, mis toimib -i parempöördena, ehk

Homogeense konstantse koefitsiendiga diferentsiaalvõrrandi lahendused leiab asendusega . See asendus annab karakteristliku võrrandi

Mittehomogeense juhu saab hõlpsasti lahendada, kui sisendfunktsioon on kujul . Sel juhul asendades saame , kui defineerida

Ülekandefunktsiooni selline definitsioon nõuab kompleks- ja reaalarvuliste väärtuste vahel hoolikat eristamist, kus traditsiooniliselt koheldakse kui võimendusena ja kui faasinihkena. Kasutatakse ka teisi ülekandefunktsiooni määratlusi, nagu näiteks [3]

Võimendus, siirdeprotsessid ja stabiilsus[muuda | muuda lähteteksti]

Üldist sinusoidaalset sisendit sagedussüsteemi saab esitada kujul . Süsteemi impulsskoste sinusoidaalne sisend, mis algab ajahetkest , koosneb püsiseisundi ja siirdeprotsessi impulsskostete summast. Püsiseisundi impulsskoste on süsteemi väljund lõpmatu ajahulga jooksul ja siirdeprotsessi impulsskoste on vahe süsteemi impulsskoste ja püsiseisundi impulsskoste vahel (see vastab ülaltoodud diferentsiaalvõrrandi homogeensele lahendile.) Lineaarse ajas muutumatu süsteemi puhul saab seda esitada korrutisena

kus sPi on karakteristliku võrrandi N juured ja on seega ülekandefunktsiooni poolused. Vaatleme ühe poolusega ülekandefunktsiooni näidet kus . Ühikulise amplituudiga sinusoidi Laplace'i teisendus on . Laplace'i teisenduse väljund on ja ajaline väljund on pöördvõrdeline selle funktsiooni Laplace'i teisendusega:

Lugejas olev teine muutuja on siirdeprotsessi impulsskoste ja lõpmatu ajahulga jooksul hajub see lõpmatult, kui on positiivne. Selleks, et süsteem oleks stabiilne, ei tohi sellel ülekandefunktsioonil olla ühtegi poolust, mille reaalosad oleksid positiivsed. Kui ülekandefunktsioon on rangelt stabiilne, on kõigi pooluste reaalosad negatiivsed ja siirdeprotsess läheneb lõpmatult nullile. Püsiseisundi väljund on

Sageduskoste (ka "võimendus") on määratletud kui väljundamplituudi ja püsiseisundi sisendi amplituudi suhte absoluutväärtus

mis on lihtsalt ülekandefunktsiooni absoluutväärtus, mida hinnatakse väärtusel . Selle tulemuse kehtivust saab näidata suvalise ülekandefunktsiooni pooluste arvuga.

Signaalitöötlus[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu sisend üldisesse lineaarse ajas muutumatusse süsteemi ja väljundiks ning kahepoolne Laplace'i teisendus väärtustest ja . Siis saame defineerida

Siis on väljund sisendiga seotud ülekandefunktsiooniga järgnevalt

ja ülekandefunktsioon ise on seega

Harmoonilise Kompleksarvulise signaali, millel on sinusoidaalne komponent, mille amplituud , nurksagedus ja faas on , kus arg on argument, saab esitada kujul

kus sisestamisel lineaarsesse ajas muutumatusse süsteemi, saame väljundil vastava komponendi

Pange tähele, et lineaarses ajas muutumatus süsteemis pole sisendsagedus muutunud, süsteemis on muutnud ainult sinusoidi amplituud ja faasinurk. Sageduskarakteristik kirjeldab seda muutust iga sageduse puhul võimenduse

ja faasinihe

abil.

Grupihilistus (st ülekandefunktsiooniga sinusoidi ümbrisesse viidud sagedustest sõltuv viivituste summa) leitakse faasinihke tuletise arvutamisel nurksagedusest :

Ülekandefunktsiooni saab näidata ka Fourier' teisenduse abil, mis on ainuke Kahepoolne Laplace'i teisenduse erijuht, kui .

Levinud ülekandefunktsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

Mõned levinumad ülekandefunktsioonid ja nende eripärad on:

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. ENE 10. köide, 1998
  2. Ülekandefunktsioon. Elektroenergeetikasõnastik. Tallinn, TTÜ Kirjastus, 2005, lk 628
  3. Birkhoff, Garrett; Rota, Gian-Carlo (1978). Ordinary differential equations. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05224-1. Mall:Page needed