Z-teisendus

Allikas: Vikipeedia
Mine navigeerimisribale Mine otsikasti

Z-teisendus on diskreetse-ajalise signaali muutmine sagedusruumi komponentideks (sageduskomponentideks). Diskreetne-ajaline signaal võib olla reaalarvuline või kompleksarvuline.

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

On olemas kaks Z-teisenduse tüüpi: kahepoolne ja ühepoolne Z-teisendus.

Kahepoolne Z-teisendus[muuda | muuda lähteteksti]

Diskreetse-ajalise signaali kahepoolse Z-teisenduse valem on defineeritud selliselt:

kus on täisarv ja on üldjuhul kompleksarv:

,

kus on kompleksarvu absoluutväärtus, on imaginaarühik ning on kompleksarvu argument radiaanides.

Ühepoolne Z-teisendus[muuda | muuda lähteteksti]

Juhul, kui on defineeritud ainult jaoks, ühepoolse Z-teisenduse valem on defineeritud selliselt:

Seda definitsiooni saab signaalitöötluses kasutada diskreetse-ajalise põhjusliku (kausaalse) süsteemi ühiku siirdega filtri Z-teisenduse välja arvutamiseks.

Üks näide ühepoolsest Z-teisendusest on tõenäosuse genereeriv funktsioon, kus komponent on tõenäosus, et diskreetne juhuslik muutuja omandab väärtust ning funktsioon on üldiselt kujutatud nagu (kus ). Z-teisenduse omadustel on kasulikud interpretatsioonid tõenäosuseteooria kontekstis.

Pöörd-Z-teisendus[muuda | muuda lähteteksti]

Pöörd-Z-teisendus on

kus C on vastupäeva suletud rada mis ümbritseb algpunkti ning mis on täielikult konvergentsipiirkonnas. Juhul, kui konvergentsipiirkond on põhjuslik (kausaalne) (vaata Näide 2), see tähendab, et C rada peab ümbritsema kõik pooluseid.

Kontuurintegraali erijuht ilmub, kui C on ühik ring. Sellist kontuuri saab kasutada, kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi, mis on alati garanteeritud kui on stabiilne, ehk siis, kui kõik pooluseid on ühikringi sees. Sellise kontuuriga pöörd-Z-teisendus taandub ühikringi läheduses Z-teisenduse perioodiliste väärtuste diskreetse-ajalise pöörd-Fourier' teisendusele:

Z-teisendus n lõpliku vahemikuga ja ühtlaste vahedega z väärtuste lõpliku arvuga saab välja arvutada kasutades Bluestein FFT algoritmi. Diskreetne-ajaline Fourier' teisendus on z piiramisega ühikringile saadud Z-teisenduse erijuht.

Konvergentsipiirkond[muuda | muuda lähteteksti]

Konvergentsipiirkond on komplekstasandi punktide hulk, millele Z-teisenduse summeerimine koondub.

Näide 1 (ilma konvergentsipiirkonnata)[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu x[n] = (0.5)n. Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub

Vaadates summa

Järelikult, pole z väärtusi mis rahuldavad seda tingimust.

Näide 2 (põhjuslik (kausaalne) konvergentsipiirkond)[muuda | muuda lähteteksti]

Konvergentsipiirkond on kujutatud sinise värviga, ühiku ring hallpunktiirjoonega ning ring |z| = 0.5 mustkriipsjoonega.

Olgu (kus u on Heaviside funktsioon). Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub

Vaadates summa

Viimane võrdsus tuleneb lõpmatust geomeetrilisest rajast ja võrdsus kehtib ainult kui |0.5z−1| < 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |z| > 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |z| > 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on komplekstasand kus raadiuse ring 0.5 on nö "välja löödud".

Näide 3 (antikausaalne konvergentsipiirkond)[muuda | muuda lähteteksti]

Konvergentsipiirkond on kujutatud sinise värviga, ühiku ring hallpunktiirjoonega ning ring |z| = 0.5 mustkriipsjoonega.

Olgu (kus u on Heaviside funktsioon). Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub

Vaadates summa

Jälle kasutades lõpmatu geomeetrilist rada, võrdusus kehtib ainult kui |0.5−1z| < 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |z| < 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |z| < 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on algpunktis keskendatud ring raadiusega 0.5.

Sellist näidet eelnevast eristab ainult konvergentsipiirkond. See on selleks, et näidata, et ainult teisenduse tulemust ei ole piisav.

Näidete kokkuvõte[muuda | muuda lähteteksti]

Näited 2 ja 3 näitavad, et x[n] Z-teisendus X(z) on unikaalne siis ja ainult siis, kui määratletakse konvergentsipiirkonda. Poolus-null graafiku loomine kausaalse ja antikausaalse näidete jaoks näitab, et konvergentsipiirkond mõlemal juhul ei sisalda poolust, mis asub 0.5 peal. See laieneb mitme poolustega juhtumitele: konvergentsipiirkonda ei sisalda pooluseid mitte kunagi.

Kausaalne süsteem näites 2 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |z| = ∞ ning kausaalne süsteem näites 3 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |z| = 0.

Konvergentsipiirkond on kujutatud sinise ringina 0.5 < |z| < 0.75

Mitme poolustega süsteemides on võimalik saada konvergentsipiirkonda, mis ei sisalda mitte |z| = ∞ ega |z| = 0. Konvergentsipiirkond loob ringkujulist ala. Näiteks,

sisaldab pooluseid 0.5 ja 0.75 peal. Konvergentsipiirkond tuleb 0.5 < |z| < 0.75, mis ei sisalda mitte algpunkti ega lõpmatust. Sellist süsteemi nimetatakse segakausaalsuse süsteemiks, sest see sisaldab kausaalse piiri (0.5)nu[n] ja antikausaalse piiri −(0.75)nu[−n−1].

Süsteemi stabiilsus saab olla määratud teades ainult konvergentsipiirkonda. Kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi (|z| = 1), siis süsteem on stabiilne. Üleval süsteemidel kausaalne süsteem (Näide 2) on stabiilne sest |z| > 0.5 sisaldab ühikringi.

Olgu meil on süsteemi Z-teisendus ilma konvergentsipiirkonnata (ebamäärane x[n]). Me saame määrata unikaalset x[n] tingimusel, et soovime:

  • Stabiilsust
  • Kausaalsust

Stabiilsuse jaoks konvergentsipiirkond peab sisaldama ühikringi. Kui meil on vaja kausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama lõpmatust ja süsteemi funktsioon tuleb parempoolseks jadaks. Kui meil on vaja antikausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama algpunkti ja süsteemi funktsioon tuleb vasakpoolseks jadaks. Kui meil on vaja nii stabiilsust kui ka kausaalsust, siis kõik süsteemi funktsiooni pooluseid peab olema ühikringi sees.

Seejärel saab leida unikaalset x[n].

Omadused[muuda | muuda lähteteksti]

Z-teisenduse omadused
Ajadomeen Z-domeen Tõestus Konvergentsipiirkond
Esitus
Lineaarsus Sisaldab Konvergentsipiirkond1 ∩ Konvergentsipiirkond2
Aja paisumine

with

Alasämplimine ohio-state.edu  või  ee.ic.ac.uk
Aja viivitus

koos ja

Konvergentsipiirkond, va z = 0 kui k > 0 ja z = ∞ kui k < 0
Aja edasiviimine

koos

Kahepoolne Z-teisendus:

Ühepoolne Z-transform:[1]

Esimene erinevus tagasi

koos x[n]=0 n<0 jaoks

Sisaldab X1(z) konvergentsipiirkonna ja z ≠ 0 ühisosa
Esimene erinevus edasi
Aja ümberpööramine
Skaleerimine z-domeenis
Kaaskompleks
Reaalosa
Imaginaarosa
Diferentseerimine Konvergentsipiirkond, kui on ratsionaalarv;

on võimalik, et konvergentsipiirkond possibly välistab piiri, kui ei ole ratsionaalarv[2]

Konvolutsioon Sisaldab Konvergentsipiirkond1 ∩ Konvergentsipiirkond2
Krosskorreleerimine Sisaldab ja konvergentsipiirkondade ühisosa
Akumulatsioon
Korrutamine -

Parseval teoreem

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Bolzern, Paolo; Scattolini, Riccardo; Schiavoni, Nicola (2015). Fondamenti di Controlli Automatici (itaalia keeles). MC Graw Hill Education. ISBN 978-88-386-6882-1. 
  2. A. R. Forouzan (2016). "Region of convergence of derivative of Z transform". Electronics Letters 52 (8): 617–619. doi:10.1049/el.2016.0189.